Simulacre d'examen de geometria diferencial

Les derivades. $r' = (-\sin t,\ \cos t,\ 1)$ i $r'' = (-\cos t,\ -\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $\sqrt{2}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{2}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{\sqrt{2}}{(2)^{3/2}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

De pas, la torsió val $\frac{1}{2} \approx 0.5000$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $1$, amb curvatura $1/1$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un paraboloide hiperbòlic (sella de muntar), i es corba cap amunt en una direcció i cap avall en l'altra. Per tant $K < 0$ (tipus sella).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les tres derivades. La tercera és $(2\sin t,\ -2\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $16$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $4\cdot20$.

La torsió.

$\tau = \frac{16}{4\cdot20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{10}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

Les derivades. $r' = (-3\sin t,\ 3\cos t,\ 2)$ i $r'' = (-3\cos t,\ -3\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $3\sqrt{13}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{13}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{3\sqrt{13}}{(13)^{3/2}} = \frac{3}{13} = \frac{3}{13} \approx 0.2308$

De pas, la torsió val $\frac{2}{13} \approx 0.1538$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $3$, amb curvatura $1/3$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-4\sin t,\ 4\cos t,\ 2)$ i $r'' = (-4\cos t,\ -4\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $4\sqrt{20}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{20}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{4\sqrt{20}}{(20)^{3/2}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

De pas, la torsió val $\frac{1}{10} \approx 0.1000$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $4$, amb curvatura $1/4$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-5\sin t,\ 5\cos t,\ 2)$ i $r'' = (-5\cos t,\ -5\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $5\sqrt{29}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{29}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{5\sqrt{29}}{(29)^{3/2}} = \frac{5}{29} = \frac{5}{29} \approx 0.1724$

De pas, la torsió val $\frac{2}{29} \approx 0.0690$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $5$, amb curvatura $1/5$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-7\sin t,\ 7\cos t,\ 1)$ i $r'' = (-7\cos t,\ -7\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $7\sqrt{50}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{50}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{7\sqrt{50}}{(50)^{3/2}} = \frac{7}{50} = \frac{7}{50} \approx 0.1400$

De pas, la torsió val $\frac{1}{50} \approx 0.0200$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $7$, amb curvatura $1/7$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-9\sin t,\ 9\cos t,\ 1)$ i $r'' = (-9\cos t,\ -9\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $9\sqrt{82}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{82}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{9\sqrt{82}}{(82)^{3/2}} = \frac{9}{82} = \frac{9}{82} \approx 0.1098$

De pas, la torsió val $\frac{1}{82} \approx 0.0122$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $9$, amb curvatura $1/9$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.