Exercicis de geometria diferencial

Les derivades. $r' = (-\sin t,\ \cos t,\ 1)$ i $r'' = (-\cos t,\ -\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $\sqrt{2}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{2}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{\sqrt{2}}{(2)^{3/2}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

De pas, la torsió val $\frac{1}{2} \approx 0.5000$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $1$, amb curvatura $1/1$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(\sin t,\ -\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $1$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $1\cdot2$.

La torsió.

$\tau = \frac{1}{1\cdot2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{2}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Una esfera de radi $a$, i les dues curvatures principals tenen el mateix signe. Per tant $K > 0$ (tipus esfera).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-\sin t,\ \cos t,\ 2)$ i $r'' = (-\cos t,\ -\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $\sqrt{5}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{5}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{\sqrt{5}}{(5)^{3/2}} = \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

De pas, la torsió val $\frac{2}{5} \approx 0.4000$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $1$, amb curvatura $1/1$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(\sin t,\ -\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $2$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $1\cdot5$.

La torsió.

$\tau = \frac{2}{1\cdot5} = \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \approx 0.4000$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{5}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un pla, i totes les curvatures normals són nul·les. Per tant $K = 0$ (tipus pla o cilindre).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-\sin t,\ \cos t,\ 3)$ i $r'' = (-\cos t,\ -\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $\sqrt{10}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{10}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{\sqrt{10}}{(10)^{3/2}} = \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

De pas, la torsió val $\frac{3}{10} \approx 0.3000$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $1$, amb curvatura $1/1$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(\sin t,\ -\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $3$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $1\cdot10$.

La torsió.

$\tau = \frac{3}{1\cdot10} = \frac{3}{10} = \frac{3}{10} \approx 0.3000$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{10}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un cilindre circular, i una curvatura principal és nul·la (la generatriu és recta). Per tant $K = 0$ (tipus pla o cilindre).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-\sin t,\ \cos t,\ 4)$ i $r'' = (-\cos t,\ -\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $\sqrt{17}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{17}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{\sqrt{17}}{(17)^{3/2}} = \frac{1}{17} = \frac{1}{17} \approx 0.0588$

De pas, la torsió val $\frac{4}{17} \approx 0.2353$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $1$, amb curvatura $1/1$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.