Exercicis de geometria diferencial

Les derivades. $r' = (-10\sin t,\ 10\cos t,\ 6)$ i $r'' = (-10\cos t,\ -10\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $10\sqrt{136}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{136}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{10\sqrt{136}}{(136)^{3/2}} = \frac{10}{136} = \frac{5}{68} \approx 0.0735$

De pas, la torsió val $\frac{3}{68} \approx 0.0441$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $10$, amb curvatura $1/10$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-10\sin t,\ 10\cos t,\ 7)$ i $r'' = (-10\cos t,\ -10\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $10\sqrt{149}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{149}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{10\sqrt{149}}{(149)^{3/2}} = \frac{10}{149} = \frac{10}{149} \approx 0.0671$

De pas, la torsió val $\frac{7}{149} \approx 0.0470$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $10$, amb curvatura $1/10$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.