Exercicis de geometria diferencial

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un tor, a la part exterior, i les dues curvatures principals van en el mateix sentit. Per tant $K > 0$ (tipus esfera).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 1)$ i $r'' = (-2\cos t,\ -2\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $2\sqrt{5}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{5}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{2\sqrt{5}}{(5)^{3/2}} = \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \approx 0.4000$

De pas, la torsió val $\frac{1}{5} \approx 0.2000$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $2$, amb curvatura $1/2$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(2\sin t,\ -2\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $8$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $4\cdot8$.

La torsió.

$\tau = \frac{8}{4\cdot8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{4}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un tor, a la part interior (cap al forat), i les dues curvatures principals van en sentits oposats. Per tant $K < 0$ (tipus sella).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 2)$ i $r'' = (-2\cos t,\ -2\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $2\sqrt{8}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{8}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{2\sqrt{8}}{(8)^{3/2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

De pas, la torsió val $\frac{1}{4} \approx 0.2500$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $2$, amb curvatura $1/2$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(2\sin t,\ -2\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $12$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $4\cdot13$.

La torsió.

$\tau = \frac{12}{4\cdot13} = \frac{3}{13} = \frac{3}{13} \approx 0.2308$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{2}{13}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un el·lipsoide, i és convex en totes les direccions. Per tant $K > 0$ (tipus esfera).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 3)$ i $r'' = (-2\cos t,\ -2\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $2\sqrt{13}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{13}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{2\sqrt{13}}{(13)^{3/2}} = \frac{2}{13} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$

De pas, la torsió val $\frac{3}{13} \approx 0.2308$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $2$, amb curvatura $1/2$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(2\sin t,\ -2\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $16$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $4\cdot20$.

La torsió.

$\tau = \frac{16}{4\cdot20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{10}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Una superfície de revolució generada per una recta paral·lela a l'eix, i és un cilindre, amb una direcció recta. Per tant $K = 0$ (tipus pla o cilindre).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.