Exercicis de geometria diferencial

Les derivades. $r' = (-5\sin t,\ 5\cos t,\ 2)$ i $r'' = (-5\cos t,\ -5\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $5\sqrt{29}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{29}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{5\sqrt{29}}{(29)^{3/2}} = \frac{5}{29} = \frac{5}{29} \approx 0.1724$

De pas, la torsió val $\frac{2}{29} \approx 0.0690$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $5$, amb curvatura $1/5$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(5\sin t,\ -5\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $150$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $25\cdot61$.

La torsió.

$\tau = \frac{150}{25\cdot61} = \frac{6}{61} = \frac{6}{61} \approx 0.0984$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{5}{61}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

Les derivades. $r' = (-5\sin t,\ 5\cos t,\ 3)$ i $r'' = (-5\cos t,\ -5\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $5\sqrt{34}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{34}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{5\sqrt{34}}{(34)^{3/2}} = \frac{5}{34} = \frac{5}{34} \approx 0.1471$

De pas, la torsió val $\frac{3}{34} \approx 0.0882$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $5$, amb curvatura $1/5$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-5\sin t,\ 5\cos t,\ 4)$ i $r'' = (-5\cos t,\ -5\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $5\sqrt{41}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{41}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{5\sqrt{41}}{(41)^{3/2}} = \frac{5}{41} = \frac{5}{41} \approx 0.1220$

De pas, la torsió val $\frac{4}{41} \approx 0.0976$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $5$, amb curvatura $1/5$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-5\sin t,\ 5\cos t,\ 5)$ i $r'' = (-5\cos t,\ -5\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $5\sqrt{50}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{50}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{5\sqrt{50}}{(50)^{3/2}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

De pas, la torsió val $\frac{1}{10} \approx 0.1000$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $5$, amb curvatura $1/5$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-5\sin t,\ 5\cos t,\ 6)$ i $r'' = (-5\cos t,\ -5\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $5\sqrt{61}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{61}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{5\sqrt{61}}{(61)^{3/2}} = \frac{5}{61} = \frac{5}{61} \approx 0.0820$

De pas, la torsió val $\frac{6}{61} \approx 0.0984$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $5$, amb curvatura $1/5$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-5\sin t,\ 5\cos t,\ 7)$ i $r'' = (-5\cos t,\ -5\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $5\sqrt{74}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{74}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{5\sqrt{74}}{(74)^{3/2}} = \frac{5}{74} = \frac{5}{74} \approx 0.0676$

De pas, la torsió val $\frac{7}{74} \approx 0.0946$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $5$, amb curvatura $1/5$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-6\sin t,\ 6\cos t,\ 1)$ i $r'' = (-6\cos t,\ -6\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $6\sqrt{37}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{37}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{6\sqrt{37}}{(37)^{3/2}} = \frac{6}{37} = \frac{6}{37} \approx 0.1622$

De pas, la torsió val $\frac{1}{37} \approx 0.0270$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $6$, amb curvatura $1/6$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-6\sin t,\ 6\cos t,\ 2)$ i $r'' = (-6\cos t,\ -6\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $6\sqrt{40}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{40}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{6\sqrt{40}}{(40)^{3/2}} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} \approx 0.1500$

De pas, la torsió val $\frac{1}{20} \approx 0.0500$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $6$, amb curvatura $1/6$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les derivades. $r' = (-6\sin t,\ 6\cos t,\ 3)$ i $r'' = (-6\cos t,\ -6\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $6\sqrt{45}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{45}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{6\sqrt{45}}{(45)^{3/2}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \approx 0.1333$

De pas, la torsió val $\frac{1}{15} \approx 0.0667$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $6$, amb curvatura $1/6$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.