Exercicis de geometria diferencial

Les derivades. $r' = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 4)$ i $r'' = (-2\cos t,\ -2\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $2\sqrt{20}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{20}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{2\sqrt{20}}{(20)^{3/2}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

De pas, la torsió val $\frac{1}{5} \approx 0.2000$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $2$, amb curvatura $1/2$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(2\sin t,\ -2\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $20$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $4\cdot29$.

La torsió.

$\tau = \frac{20}{4\cdot29} = \frac{5}{29} = \frac{5}{29} \approx 0.1724$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{2}{29}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un hiperboloide d'una fulla, i conté rectes i es corba en sentits oposats. Per tant $K < 0$ (tipus sella).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 5)$ i $r'' = (-2\cos t,\ -2\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $2\sqrt{29}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{29}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{2\sqrt{29}}{(29)^{3/2}} = \frac{2}{29} = \frac{2}{29} \approx 0.0690$

De pas, la torsió val $\frac{5}{29} \approx 0.1724$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $2$, amb curvatura $1/2$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(2\sin t,\ -2\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $24$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $4\cdot40$.

La torsió.

$\tau = \frac{24}{4\cdot40} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} \approx 0.1500$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{20}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Una superfície mínima com la catenoide, i les dues curvatures principals són oposades. Per tant $K < 0$ (tipus sella).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 6)$ i $r'' = (-2\cos t,\ -2\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $2\sqrt{40}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{40}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{2\sqrt{40}}{(40)^{3/2}} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} \approx 0.0500$

De pas, la torsió val $\frac{3}{20} \approx 0.1500$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $2$, amb curvatura $1/2$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(3\sin t,\ -3\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $9$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $9\cdot10$.

La torsió.

$\tau = \frac{9}{9\cdot10} = \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{3}{10}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

Les derivades. $r' = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 7)$ i $r'' = (-2\cos t,\ -2\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $2\sqrt{53}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{53}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{2\sqrt{53}}{(53)^{3/2}} = \frac{2}{53} = \frac{2}{53} \approx 0.0377$

De pas, la torsió val $\frac{7}{53} \approx 0.1321$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $2$, amb curvatura $1/2$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(3\sin t,\ -3\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $18$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $9\cdot13$.

La torsió.

$\tau = \frac{18}{9\cdot13} = \frac{2}{13} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{3}{13}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.