Exercicis de geometria diferencial

Les tres derivades. La tercera és $(\sin t,\ -\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $4$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $1\cdot17$.

La torsió.

$\tau = \frac{4}{1\cdot17} = \frac{4}{17} = \frac{4}{17} \approx 0.2353$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{17}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un con, fora del vèrtex, i també té una generatriu recta. Per tant $K = 0$ (tipus pla o cilindre).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-\sin t,\ \cos t,\ 5)$ i $r'' = (-\cos t,\ -\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $\sqrt{26}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{26}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{\sqrt{26}}{(26)^{3/2}} = \frac{1}{26} = \frac{1}{26} \approx 0.0385$

De pas, la torsió val $\frac{5}{26} \approx 0.1923$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $1$, amb curvatura $1/1$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(\sin t,\ -\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $5$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $1\cdot26$.

La torsió.

$\tau = \frac{5}{1\cdot26} = \frac{5}{26} = \frac{5}{26} \approx 0.1923$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{26}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un paraboloide hiperbòlic (sella de muntar), i es corba cap amunt en una direcció i cap avall en l'altra. Per tant $K < 0$ (tipus sella).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-\sin t,\ \cos t,\ 6)$ i $r'' = (-\cos t,\ -\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $\sqrt{37}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{37}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{\sqrt{37}}{(37)^{3/2}} = \frac{1}{37} = \frac{1}{37} \approx 0.0270$

De pas, la torsió val $\frac{6}{37} \approx 0.1622$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $1$, amb curvatura $1/1$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(\sin t,\ -\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $6$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $1\cdot37$.

La torsió.

$\tau = \frac{6}{1\cdot37} = \frac{6}{37} = \frac{6}{37} \approx 0.1622$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{1}{37}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.

El criteri. La curvatura gaussiana és $K = k_1k_2$, el producte de les dues curvatures principals. Per tant només cal mirar si les dues direccions principals es corben cap al mateix costat o no.

En aquest cas: Un paraboloide el·líptic (cúpula), i es corba cap al mateix costat en totes les direccions. Per tant $K > 0$ (tipus esfera).

Per què és tan important el signe. Pel teorema egregi de Gauss, la curvatura gaussiana és intrínseca: es pot mesurar sense sortir de la superfície. Dues superfícies amb $K$ diferent no poden ser localment isomètriques.

Aquesta és la raó per la qual un cilindre es pot desenrotllar sobre un pla (tots dos tenen $K = 0$) i una esfera no (té $K > 0$), i per tant per la qual tots els mapes del món deformen alguna cosa.

Compte de no confondre-la amb la mitjana $H$, que sí que canvia de signe si inverteixes la normal i que no és intrínseca.

Les derivades. $r' = (-\sin t,\ \cos t,\ 7)$ i $r'' = (-\cos t,\ -\sin t,\ 0)$.

El producte vectorial té norma $\sqrt{50}$, i la norma de la velocitat és $\sqrt{50}$.

La curvatura.

$\kappa = \frac{\sqrt{50}}{(50)^{3/2}} = \frac{1}{50} = \frac{1}{50} \approx 0.0200$

De pas, la torsió val $\frac{7}{50} \approx 0.1400$. Les dues són constants, cosa que caracteritza l'hèlix: és l'única corba amb curvatura i torsió constants no nul·les.

Comprovació amb el cas límit. Si el pas vertical fos zero, quedaria una circumferència de radi $1$, amb curvatura $1/1$ (l'invers del radi) i torsió nul·la. La fórmula ho respecta.

Les tres derivades. La tercera és $(2\sin t,\ -2\cos t,\ 0)$.

El determinant de les tres val $4$, i la norma al quadrat del producte vectorial de les dues primeres val $4\cdot5$.

La torsió.

$\tau = \frac{4}{4\cdot5} = \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Què mesura. La torsió diu com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament. Una corba plana té torsió idènticament nul·la, i el recíproc també val: torsió zero amb curvatura positiva implica corba plana.

Avís important. Si la curvatura fos zero, el vector normal principal no estaria definit i la torsió tampoc. Aquí la curvatura val $\frac{2}{5}$, que és positiva, de manera que tot està ben definit.