Cossos geomètrics: volum, superfície i desenvolupament pla

En aquest tema hi ha dues magnituds que no s'intercanvien mai: el volum, que diu quant hi cap a dins, i la superfície, que diu quant material cal per cobrir-lo. Decidir quina et demanen és el primer pas de qualsevol problema.

El que has de dominar abans: àrees planes i unitats cúbiques.

Prismes i cilindres

Un prisma té dues bases iguals i paral·leles i cares laterals planes.

$$V = A_b\,h,$$

amb $h$ l'altura perpendicular entre les bases. Per a un prisma recte:

$$S = 2A_b + P_b\,h,$$

on $P_b$ és el perímetre de la base. La part $P_b h$ és la superfície lateral, que és un rectangle desplegat.

El cilindre és el cas amb base circular:

$$V = \pi r^{2}h, \qquad S = 2\pi r^{2} + 2\pi r h.$$

Fixa't que $2\pi r h$ és exactament $P_b h$ amb $P_b = 2\pi r$: és la mateixa idea.

Piràmides i cons

Una piràmide o un con amb la mateixa base i la mateixa altura que el prisma o cilindre corresponent té un terç del volum:

$$V = \frac{A_b\,h}{3}.$$

En un con circular recte, la superfície lateral és

$$S_{\text{lateral}} = \pi r g,$$

on $g$ és la generatriu, és a dir la distància del vèrtex a la vora de la base per la superfície, no l'altura. Les tres longituds es relacionen per Pitàgores:

$$g^{2} = r^{2} + h^{2}.$$

L'esfera

$$V = \frac{4\pi r^{3}}{3}, \qquad S = 4\pi r^{2}.$$

El desenvolupament pla

Un desenvolupament desplega la superfície d'un cos sobre el pla. Dibuixar-lo és el millor mètode per saber quines cares cal comptar, i és on es veu que la superfície lateral d'un cilindre és un rectangle.

Un recipient obert no porta tapa. La superfície de material depèn de quines cares existeixen realment, i l'enunciat ho ha de dir. «Un dipòsit sense tapa» vol dir una base menys.

Les vistes frontal, lateral i superior donen informació complementària, però una sola vista pot ser insuficient per reconstruir un cos: dos cossos diferents poden tenir la mateixa vista frontal.

Exercici resolt: el volum d'un prisma rectangular

Calcula el volum d'un prisma rectangular de $2 \times 3 \times 5$ cm.

Identifica base i altura. Prenent com a base el rectangle de $2 \times 3$:

$$A_b = 2\cdot 3 = 6 \ \text{cm}^{2}, \qquad h = 5 \ \text{cm}.$$

Volum.

$$V = A_b\,h = 6\cdot 5 = 30 \ \text{cm}^{3}.$$

Comprovació triant una altra base. Si prens com a base el rectangle de $3 \times 5$, llavors $A_b = 15$ i $h = 2$:

$$V = 15\cdot 2 = 30 \ \text{cm}^{3} \quad\checkmark$$

El mateix resultat, com havia de ser: en un prisma rectangular, el volum és el producte de les tres dimensions i no depèn de quina cara triïs com a base.

En litres. $30$ cm³ són $30$ mL, és a dir $0{,}03$ L. Una capacitat molt petita, coherent amb una capsa de pocs centímetres.

I la superfície, de passada. Les sis cares són dues de $2\times3$, dues de $2\times5$ i dues de $3\times5$:

$$S = 2(6 + 10 + 15) = 62 \ \text{cm}^{2}.$$

Fixa't que les unitats delaten de seguida quina magnitud és cada cosa.

Exercici resolt: duplicar el radi d'una esfera

En duplicar el radi d'una esfera, per quin factor canvien la superfície i el volum?

Parteix de les fórmules.

$$S = 4\pi r^{2}, \qquad V = \frac{4\pi r^{3}}{3}.$$

Substitueix $2r$ en comptes de $r$.

$$S_{\text{nova}} = 4\pi(2r)^{2} = 4\pi\cdot 4r^{2} = 4\,S,$$$$V_{\text{nou}} = \frac{4\pi(2r)^{3}}{3} = \frac{4\pi\cdot 8r^{3}}{3} = 8\,V.$$

La superfície es multiplica per $4$ i el volum per $8$.

Per què aquests factors. Perquè la superfície depèn del radi al quadrat ($2^{2} = 4$) i el volum al cub ($2^{3} = 8$). És exactament la regla de les escales del bloc de proporcionalitat: longituds per $k$, àrees per $k^{2}$, volums per $k^{3}$.

Comprovació amb números. Amb $r=1$: $S = 4\pi$ i $V = 4\pi/3$. Amb $r=2$: $S = 16\pi$ (quatre vegades més) i $V = 32\pi/3$ (vuit vegades més) ✓

Una conseqüència que explica coses del món real. En créixer, el volum (i per tant la massa) d'un cos puja molt més de pressa que la seva superfície. Per això els animals grans tenen potes proporcionalment molt més gruixudes que els petits: han de suportar un pes que creix amb el cub mentre que la secció que el suporta creix només amb el quadrat.

On ho faràs servir

Aquestes fórmules apareixen a qualsevol problema de capacitats, d'envasos, de materials i de pintura, i a tecnologia en el disseny de peces.

A física, el volum és necessari per calcular densitats i masses, i la superfície per a problemes de pressió i de transferència de calor.

I la relació entre el factor del quadrat i el del cub, que has vist aquí amb l'esfera, és un dels resultats més transversals de les matemàtiques aplicades: explica des de la mida dels animals fins a per què el gel picat es fon més de pressa que un bloc sencer.