Exercicis d'interpolació i splines

Pas 1 — diferències de primer ordre.

$f[x_0,x_1] = 1, \qquad f[x_1,x_2] = 3$

Pas 2 — la de segon ordre. Es divideix per la separació entre el primer i l'últim node, no entre nodes consecutius:

$f[x_0,x_1,x_2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$

Per a què serveix. És el coeficient del terme quadràtic a la forma de Newton, i coincideix amb la meitat de la segona derivada d'un polinomi que passi pels punts. Si val zero, els tres punts estan alineats.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = x^{2} + 1$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = 3$:

$p(3) = 10$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

Pas 1 — diferències de primer ordre.

$f[x_0,x_1] = 1, \qquad f[x_1,x_2] = 3$

Pas 2 — la de segon ordre. Es divideix per la separació entre el primer i l'últim node, no entre nodes consecutius:

$f[x_0,x_1,x_2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$

Per a què serveix. És el coeficient del terme quadràtic a la forma de Newton, i coincideix amb la meitat de la segona derivada d'un polinomi que passi pels punts. Si val zero, els tres punts estan alineats.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = x^{2} + 1$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = 4$:

$p(4) = 17$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

Pas 1 — diferències de primer ordre.

$f[x_0,x_1] = 1, \qquad f[x_1,x_2] = 3$

Pas 2 — la de segon ordre. Es divideix per la separació entre el primer i l'últim node, no entre nodes consecutius:

$f[x_0,x_1,x_2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$

Per a què serveix. És el coeficient del terme quadràtic a la forma de Newton, i coincideix amb la meitat de la segona derivada d'un polinomi que passi pels punts. Si val zero, els tres punts estan alineats.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = x^{2} + 1$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = 5$:

$p(5) = 26$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

Pas 1 — diferències de primer ordre.

$f[x_0,x_1] = 3, \qquad f[x_1,x_2] = 5$

Pas 2 — la de segon ordre. Es divideix per la separació entre el primer i l'últim node, no entre nodes consecutius:

$f[x_0,x_1,x_2] = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Per a què serveix. És el coeficient del terme quadràtic a la forma de Newton, i coincideix amb la meitat de la segona derivada d'un polinomi que passi pels punts. Si val zero, els tres punts estan alineats.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = x^{2} + 1$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = \frac{1}{2}$:

$p(\frac{1}{2}) = 1.25$

Aquest punt cau dins de l'interval dels nodes, que és on l'interpolació té sentit i on la cota d'error és més petita.

Pas 1 — diferències de primer ordre.

$f[x_0,x_1] = 2, \qquad f[x_1,x_2] = 4$

Pas 2 — la de segon ordre. Es divideix per la separació entre el primer i l'últim node, no entre nodes consecutius:

$f[x_0,x_1,x_2] = \frac{4 - 2}{2} = 1$

Per a què serveix. És el coeficient del terme quadràtic a la forma de Newton, i coincideix amb la meitat de la segona derivada d'un polinomi que passi pels punts. Si val zero, els tres punts estan alineats.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = x^{2} + 1$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = \frac{3}{2}$:

$p(\frac{3}{2}) = 3.25$

Aquest punt cau dins de l'interval dels nodes, que és on l'interpolació té sentit i on la cota d'error és més petita.