Exercicis d'interpolació i splines

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = x^{2}$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = \frac{5}{2}$:

$p(\frac{5}{2}) = 6.25$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = x^{2}$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = -1$:

$p(-1) = 1$

Aquest punt cau dins de l'interval dels nodes, que és on l'interpolació té sentit i on la cota d'error és més petita.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = 3$:

$p(3) = 9$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = 4$:

$p(4) = 19$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = 5$:

$p(5) = 33$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = \frac{1}{2}$:

$p(\frac{1}{2}) = 1.5$

Aquest punt cau dins de l'interval dels nodes, que és on l'interpolació té sentit i on la cota d'error és més petita.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = \frac{3}{2}$:

$p(\frac{3}{2}) = 1.5$

Aquest punt cau dins de l'interval dels nodes, que és on l'interpolació té sentit i on la cota d'error és més petita.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = \frac{5}{2}$:

$p(\frac{5}{2}) = 5.5$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = -1$:

$p(-1) = 9$

Atenció: aquest punt cau fora de l'interval dels nodes, o sigui que és extrapolació. L'interpolant hi dona un valor, però no hi ha cap garantia que correspongui a res real. El producte nodal de la fórmula de l'error creix molt de pressa fora de l'interval.

L'interpolant. Hi ha un únic polinomi de grau com a molt $2$ que passa pels tres punts, i és

$p(x) = x^{2} - 2 x + 3$

Comprovació obligatòria: substitueix els tres nodes i verifica que recuperes els valors. Si un no surt, hi ha un error de càlcul i no cal continuar.

Avaluant a $x = 3$:

$p(3) = 6$

Aquest punt cau dins de l'interval dels nodes, que és on l'interpolació té sentit i on la cota d'error és més petita.