Repte del bloc: dissenyar un jardí

⏱ 7 min de lecturaESO

Aquest repte ajunta les tres idees que més es confonen del bloc: àrea i perímetre no són el mateix, un marge de compra és un percentatge i una escala s'aplica a longituds, no a àrees. Cada apartat posa a prova una de les tres.

El que has de dominar abans: tot el bloc de geometria, especialment àrees planes i escales.

La situació

Un jardí rectangular fa $12 \times 8$ m. S'hi construeix un estany circular de radi 2 m i es posa gespa a la resta.

1. Calcula la superfície de gespa, exacta i aproximada.

2. Es vol encerclar l'estany amb una tanca. Quants metres calen? Si s'hi afegeix un $5\,\%$ de marge de compra, quina longitud es preveu?

3. Dibuixa el jardí a escala $1:100$ , indicant les dimensions del rectangle i el radi de l'estany al paper.

L'estratègia

L'apartat 1 és una àrea composta per resta: el rectangle sencer menys el cercle. És el cas més simple de figura composta, i el que cal vigilar és donar el resultat exacte (en termes de $\pi$ ) abans d'aproximar-lo.

L'apartat 2 canvia de magnitud. Una tanca al voltant de l'estany és una longitud, no una àrea: la circumferència. I el marge del $5\,\%$ és un factor multiplicatiu del bloc de proporcionalitat.

L'apartat 3 és una escala. Totes les longituds es divideixen per $100$ , i les unitats s'han de convertir amb cura.

La tanca és una longitud, no una àrea

És fàcil haver calculat l'àrea del cercle a l'apartat 1 i reutilitzar-la a l'apartat 2. Però la tanca envolta l'estany: el que es necessita és la longitud de la circumferència, $2\pi r$ , no l'àrea $\pi r^{2}$ .

El control que no falla: les unitats. Una tanca es mesura en metres; una superfície, en metres quadrats. Si al resultat de l'apartat 2 hi apareixen metres quadrats, s'ha fet servir la fórmula equivocada.

Amb $r = 2$ la confusió és especialment traïdora, perquè $2\pi r = 4\pi$ i $\pi r^{2} = 4\pi$ : el mateix número. Només les unitats els distingeixen, i és l'únic radi per al qual passa això. Si l'enunciat tingués $r = 3$ , els dos valors serien $6\pi$ i $9\pi$ i l'error salta a la vista.

Apartat 1: la superfície de gespa

L'àrea del rectangle sencer.

A_{\text{rect}} = 12\cdot 8 = 96 \ \text{m}^{2}.

L'àrea de l'estany.

A_{\text{estany}} = \pi r^{2} = \pi\cdot 2^{2} = 4\pi \ \text{m}^{2}.

L'àrea de gespa, per resta.

A_{\text{gespa}} = 96 - 4\pi \ \text{m}^{2}.

Aquesta és la resposta exacta, i és la que convé donar primer.

L'aproximació, amb $\pi \approx 3{,}1416$ :

4\pi \approx 12{,}57, \qquad A_{\text{gespa}} \approx 96 - 12{,}57 = 83{,}43 \ \text{m}^{2}.

Comprovació de sentit. L'estany ocupa uns $12{,}6$ m² de $96$ , és a dir al voltant del $13\,\%$ del jardí. Queda el $87\,\%$ de gespa, i $83{,}43$ sobre $96$ és efectivament el $86{,}9\,\%$ ✓

Comprovació de magnitud. Un cercle de radi $2$ m cap de sobres dins d'un rectangle de $12 \times 8$ m, perquè el seu diàmetre és $4$ m i el costat curt en fa $8$ ✓ Si l'àrea del cercle hagués sortit més gran que la del rectangle, hi hauria un error de fórmula.

Per què convé la forma exacta. Perquè $96 - 4\pi$ no introdueix cap error d'arrodoniment i deixa veure l'estructura del resultat. Si després cal multiplicar aquesta àrea pel preu de la gespa, treballar amb la forma exacta i arrodonir només al final és el que evita acumular errors, com diu el tema d'aproximacions.

Apartat 2: la tanca i el marge de compra

La longitud de la tanca. És la circumferència de l'estany:

L = 2\pi r = 2\pi\cdot 2 = 4\pi \ \text{m} \approx 12{,}57 \ \text{m}.

Amb el marge del $5\,\%$ . Afegir un $5\,\%$ és multiplicar pel factor $1{,}05$ :

L_{\text{previst}} = 4\pi\cdot 1{,}05 = 4{,}2\pi \ \text{m} \approx 13{,}19 \ \text{m}.

Comprovació pel camí llarg. El $5\,\%$ de $12{,}57$ és $0{,}63$ m, i $12{,}57 + 0{,}63 = 13{,}20$ m ✓ (la petita diferència en l'últim cèntim ve de l'arrodoniment intermedi, i és precisament el motiu per treballar amb $4{,}2\pi$ fins al final).

Què vol dir el marge de compra. No és una imprecisió del càlcul: és material de més previst per als talls, els encavalcaments i els errors de muntatge. És una decisió pràctica, no matemàtica, i el càlcul només la tradueix a metres.

La resposta pràctica. Si la tanca es ven per metres sencers, caldria comprar 14 metres: aquí l'arrodoniment és cap amunt, perquè cal cobrir la longitud prevista. És el mateix criteri dels paquets de farina del repte del bloc de nombres.

Un detall que val la pena notar. El marge s'aplica a la longitud, no a l'àrea. Si es tractés de gespa i volguessis un $5\,\%$ de marge, el factor $1{,}05$ s'aplicaria als metres quadrats. El percentatge és sempre sobre la magnitud que es compra.

Escriu les unitats a cada línia, no només al final

En un problema amb àrees i longituds barrejades, posa les unitats a cada resultat intermedi: m, m², m³.

És l'única manera fiable de no confondre les fórmules, i detecta de seguida l'error de reutilitzar una àrea on calia una longitud. Amb un radi de $2$ , on els dos números coincideixen, les unitats són literalment l'únic que separa la resposta correcta de la incorrecta.

Apartat 3: el dibuix a escala 1

Què vol dir l'escala. $1:100$ significa que una unitat al paper correspon a $100$ unitats a la realitat, en les mateixes unitats. Per anar de la realitat al dibuix, es divideix per $100$ .

Les dimensions del rectangle.

12 \ \text{m} = 1\,200 \ \text{cm} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{1\,200}{100} = 12 \ \text{cm al paper}.

8 \ \text{m} = 800 \ \text{cm} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{800}{100} = 8 \ \text{cm al paper}.

El rectangle es dibuixa de $12 \times 8$ cm.

El radi de l'estany.

2 \ \text{m} = 200 \ \text{cm} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{200}{100} = 2 \ \text{cm al paper}.

L'estany es dibuixa com un cercle de $2$ cm de radi (és a dir $4$ cm de diàmetre).

La coincidència numèrica, i per què passa. Les mides en metres ( $12$ , $8$ , $2$ ) coincideixen amb les mides en centímetres al paper ( $12$ , $8$ , $2$ ). No és casualitat: a escala $1:100$ , un metre real és un centímetre al paper, perquè $1$ m $= 100$ cm i dividint per $100$ queda $1$ cm. Aquesta correspondència fa que l'escala $1:100$ sigui molt còmoda per a plànols d'habitatges i jardins.

Comprovació que el dibuix cap en un full. $12 \times 8$ cm entra de sobres en un A4 ( $21 \times 29{,}7$ cm) ✓

El que NO s'ha de fer: aplicar l'escala a l'àrea. L'àrea de gespa al dibuix seria

12\cdot 8 - \pi\cdot 2^{2} = 96 - 4\pi \approx 83{,}43 \ \text{cm}^{2},

i la real és $83{,}43$ m². El factor entre les dues àrees és

100^{2} = 10\,000,

no $100$ . I efectivament $83{,}43$ cm² $\cdot\ 10\,000 = 834\,300$ cm² $= 83{,}43$ m² ✓

La comprovació que ho confirma. $1$ m² $= 10\,000$ cm², que és el mateix factor. Les àrees del dibuix i de la realitat es relacionen pel quadrat de l'escala, i aquesta és la idea central del tema d'escales i del de semblança.

Què ha de portar el dibuix acabat. Les mides acotades ( $12$ cm i $8$ cm), el radi de l'estany marcat ( $2$ cm) i l'escala escrita ( $1:100$ ). Un plànol sense l'escala indicada no es pot interpretar, igual que una gràfica sense els eixos etiquetats.

Extensió: quanta gespa i quant costa

La gespa es ven en rotlles que cobreixen $2$ m² i costen $9$ euros cada un. Quants en calen i quant costa, amb un $10\,\%$ de marge?

L'àrea amb marge.

(96 - 4\pi)\cdot 1{,}10 \approx 83{,}43\cdot 1{,}10 \approx 91{,}77 \ \text{m}^{2}.

Quants rotlles. Cada rotlle cobreix $2$ m²:

\frac{91{,}77}{2} \approx 45{,}89,

de manera que calen 46 rotlles, arrodonint cap amunt perquè cal cobrir la superfície.

El cost.

46\cdot 9 = 414 \ \text{euros}.

Quanta gespa sobra.

46\cdot 2 = 92 \ \text{m}^{2}, \qquad 92 - 83{,}43 = 8{,}57 \ \text{m}^{2} \ \text{de sobrant},

que és un $10{,}3\,\%$ de la superfície necessària: just el marge previst, més el que afegeix l'arrodoniment als rotlles sencers.

Comprovació sense marge, per contrast. Sense el $10\,\%$ caldrien $83{,}43 : 2 \approx 41{,}7$ , és a dir 42 rotlles i $378$ euros. El marge costa $4$ rotlles i $36$ euros, i és el preu de no quedar-se curt.

Per què l'arrodoniment és cap amunt dues vegades. Primer al marge (una decisió pràctica) i després als rotlles (perquè no es venen fraccionats). Les dues van en el mateix sentit, i per això el sobrant final és més gran que el $10\,\%$ nominal.

La connexió amb el bloc de proporcionalitat. El cost és proporcional al nombre de rotlles ( $9$ euros cada un: constant de proporcionalitat), però no és proporcional a l'àrea, perquè els rotlles es venen sencers. La funció cost en funció de l'àrea és esglaonada, no lineal: és el cas que el tema de funcions a trossos avisava que no es pot modelar com una recta.

Què s'ha fet servir de cada tema

Perímetres i àrees de figures planes (tema 3): l'àrea composta per resta, l'àrea del cercle i la longitud de la circumferència, i la distinció entre contorn i superfície.

Magnituds, unitats i conversions (tema 1): el pas de metres a centímetres, i el factor $10\,000$ entre m² i cm².

Escales i magnituds relatives (bloc de proporcionalitat, tema 6, i aquí el tema 1): l'escala $1:100$ aplicada a longituds i el factor quadrat per a les àrees.

Semblança (tema 6): la mateixa idea del factor $k$ per a longituds i $k^{2}$ per a àrees, que és el que justifica l'última comprovació de l'apartat 3.

I de fora del bloc: el marge del $5\,\%$ i del $10\,\%$ són factors multiplicatius del bloc de proporcionalitat; els arrodoniments cap amunt vénen del bloc de nombres; i la funció esglaonada del cost per rotlles, del bloc de funcions.

La idea per endur-se'n: en un problema de geometria aplicada, el que decideix la resposta no és recordar les fórmules sinó saber quina magnitud et demanen. Àrea o longitud, real o al paper, exacta o amb marge de compra: cada apartat demana una cosa diferent, i les unitats són el control que no falla mai.