Conjunts numèrics i recta numèrica: naturals, enters, racionals i reals

Abans de calcular res, val la pena saber amb quins nombres estàs treballant. No és una maniobra de classificació per avorrir: cada família de nombres permet fer unes coses i no unes altres, i gairebé tots els errors d'aquest bloc venen de tractar un nombre com si fos d'una família que no és.

El que has de dominar abans: comptar, comparar quantitats i llegir nombres amb decimals.

Les quatre famílies

Els naturals són els de comptar. Aquí farem servir el conveni que inclouen el zero: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$.

Els enters hi afegeixen els negatius: $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$. Serveixen per a tot allò que pot anar en dos sentits: temperatures sota zero, deutes, plantes d'un edifici per sota de terra.

Els racionals són els que es poden escriure com una fracció $a/b$ amb $a$ i $b$ enters i $b$ diferent de zero. Aquí hi entren molts més nombres dels que sembla: tots els enters (perquè $5 = 5/1$), tots els decimals exactes ($0{,}25 = 1/4$) i tots els decimals periòdics ($0{,}333\ldots = 1/3$).

Els irracionals són els que no es poden escriure com a fracció. Els seus decimals són infinits i no repeteixen mai cap bloc. Els dos que et trobaràs sempre són $\sqrt{2}$ i $\pi$.

Tot junt forma els reals, $\mathbb{R}$. I la relació entre les famílies és d'encaix, una dins de l'altra:

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

La recta numèrica

Imagina una recta amb el zero al mig, els positius cap a la dreta i els negatius cap a l'esquerra. Cada nombre real ocupa un punt, i el nombre més gran és sempre el que queda més a la dreta.

Aquesta imatge resol d'un cop la confusió més habitual amb els negatius: $-8 < -3$, encara que $8 > 3$. El $-8$ queda més lluny cap a l'esquerra, i per tant és més petit. Pensa-ho amb temperatures: fa més fred a vuit graus sota zero que a tres sota zero.

Hi ha una propietat de la recta que val la pena entendre: entre dos nombres reals diferents sempre n'hi ha més. Si em dius dos nombres qualsevol, jo en puc trobar un entremig calculant-ne la mitjana, i després un altre entre aquell i qualsevol dels dos, i així indefinidament. Els nombres no van «de un en un» com els naturals: a la recta real no hi ha forats ni hi ha «el següent».

Valor absolut i oposat

Són dues coses diferents i es confonen contínuament.

El valor absolut $|a|$ és la distància del nombre fins al zero. Com que una distància no pot ser negativa, el valor absolut mai no és negatiu. Així, $|-3| = 3$ i també $|3| = 3$.

L'oposat de $a$ és $-a$: el nombre que està a la mateixa distància del zero però a l'altra banda. L'oposat de $-3$ és $3$, i l'oposat de $7$ és $-7$.

La diferència pràctica: el valor absolut sempre et dona un resultat positiu o zero; l'oposat et canvia el signe, sigui quin sigui.

Exercici resolt: ordenar i valor absolut

Ordena $-5$, $-2$, $0{,}4$ i $-0{,}5$. Calcula $|-5|$.

Separa primer positius i negatius. L'únic positiu és $0{,}4$, o sigui que anirà l'últim.

Entre els negatius, com més gran és el nombre sense signe, més petit és el nombre: $-5$ és el més petit, després $-2$, i després $-0{,}5$ (que és el que està més a prop del zero).

$$-5 < -2 < -0{,}5 < 0{,}4.$$

El valor absolut: $|-5| = 5$, perquè el $-5$ està a cinc unitats del zero.

Comprovació a la recta: dibuixa-la mentalment i col·loca'ls. Han de quedar en aquest ordre d'esquerra a dreta.

Exercici resolt: classificar al conjunt més petit

Classifica $\sqrt{49}$, $-7/2$ i $\sqrt{3}$ al conjunt més petit dels que hem vist.

$\sqrt{49}$. Compte amb la trampa: no et quedis amb l'aspecte d'arrel. $\sqrt{49} = 7$, que és un natural. Les arrels de quadrats perfectes donen nombres de tota la vida.

$-7/2$. Val $-3{,}5$. No és natural (és negatiu) ni enter (té decimals), però sí que és una fracció d'enters: és racional.

$\sqrt{3}$. El $3$ no és cap quadrat perfecte, de manera que l'arrel dona $1{,}7320508\ldots$ amb decimals infinits que no es repeteixen: és irracional.

La lliçó. Abans de classificar una arrel, calcula-la o comprova si el radicand és un quadrat perfecte. $\sqrt{49}$ i $\sqrt{3}$ semblen el mateix tipus de bestiola i són de famílies completament diferents.

On ho faràs servir

Saber a quin conjunt pertany un nombre no és una etiqueta que es posa per posar: condiciona què hi pots fer. Dins dels naturals no sempre pots restar, dins dels enters no sempre pots dividir, i dins dels racionals no sempre pots treure l'arrel. Cada conjunt nou apareix justament per resoldre una operació que abans no es podia fer.

A la pràctica, això et serveix sobretot per interpretar bé els resultats dels problemes. Si una incògnita representa un nombre de persones, de caixes o de dies, la resposta ha de ser un natural: una solució de $3{,}5$ autobusos vol dir que has de replantejar el problema o arrodonir cap amunt amb un criteri. Si representa una temperatura o un saldo, els negatius hi tenen sentit. I si representa una longitud mesurada, hauràs de treballar amb reals i amb aproximacions.

Per això, en qualsevol problema amb text, val la pena preguntar-se abans de començar quin tipus de nombre pot ser la resposta. Sovint aquesta pregunta sola ja descarta la meitat dels errors possibles.