Biblioteca de 108 exercicis de 4 tipus diferents, de 10 en 10: els del mateix tipus canvien les dades. Escriu la resposta, comprova-la i, si falla, mira les pistes abans de rendir-te.
Hi ha 12 samarretes i 10 pantalons. Quants conjunts diferents es poden formar triant-ne un de cada?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: es multiplica.
Pista 2.
Per cada una de les 12 primeres opcions hi ha 10 segones.
Com es fa
12⋅10=120. Es multiplica perquè les dues etapes es combinen; si fossin alternatives excloents («o l'una o l'altra»), els recomptes se sumarien.
Compte amb això.
Sumar en comptes de multiplicar, cosa que respon a una pregunta diferent.
Exercici 2
D'entre 7 elements diferents, de quantes maneres es poden triar i ordenar 2? No es pot repetir cap element.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Com que l'ordre importa i no es pot repetir, cada etapa té una opció menys.
Pista 2.
Multiplica 7 per els 1 números següents cap avall.
Com es fa
Hi ha 42 maneres: 7⋅6. Cada factor baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir, i l'ordre importa perquè les posicions són diferents.
Compte amb això.
Fer servir el mateix nombre d'opcions a cada etapa, com si es pogués repetir.
Exercici 3
Quants grups de 2 persones es poden triar entre 5, sense càrrecs diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Compta primer les maneres de triar-les i ordenar-les.
Pista 2.
Com que l'ordre no importa, cada grup s'ha comptat 2!=2 vegades: divideix-hi.
Com es fa
Triant i ordenant serien 20 maneres, i cada grup s'ha comptat 2!=2 vegades, de manera que el resultat és 20:2=10. Entendre la divisió pels ordres repetits és més útil que memoritzar la fórmula.
Compte amb això.
Dividir per 2 automàticament: el divisor és 2!, no sempre dos.
Exercici 4
De quantes maneres es poden ordenar 2 objectes diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el nombre de permutacions, és a dir el factorial.
Pista 2.
Calcula 2!=2⋅1⋯1.
Com es fa
2!=2. La primera posició té totes les opcions, la segona una menys, i així fins a la darrera, que només en té una.
Compte amb això.
Multiplicar el nombre d'objectes per ell mateix en comptes de fer el factorial.
Exercici 5
Hi ha 7 rutes fins a la plaça i 3 rutes des de la plaça. Quants camins diferents es poden formar triant-ne un de cada?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: es multiplica.
Pista 2.
Per cada una de les 7 primeres opcions hi ha 3 segones.
Com es fa
7⋅3=21. Es multiplica perquè les dues etapes es combinen; si fossin alternatives excloents («o l'una o l'altra»), els recomptes se sumarien.
Compte amb això.
Sumar en comptes de multiplicar, cosa que respon a una pregunta diferent.
Exercici 6
D'entre 8 elements diferents, de quantes maneres es poden triar i ordenar 5? No es pot repetir cap element.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Com que l'ordre importa i no es pot repetir, cada etapa té una opció menys.
Pista 2.
Multiplica 8 per els 4 números següents cap avall.
Com es fa
Hi ha 6720 maneres: 8⋅7⋅6⋅5⋅4. Cada factor baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir, i l'ordre importa perquè les posicions són diferents.
Compte amb això.
Fer servir el mateix nombre d'opcions a cada etapa, com si es pogués repetir.
Exercici 7
Quants grups de 4 persones es poden triar entre 10, sense càrrecs diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Compta primer les maneres de triar-les i ordenar-les.
Pista 2.
Com que l'ordre no importa, cada grup s'ha comptat 4!=24 vegades: divideix-hi.
Com es fa
Triant i ordenant serien 5040 maneres, i cada grup s'ha comptat 4!=24 vegades, de manera que el resultat és 5040:24=210. Entendre la divisió pels ordres repetits és més útil que memoritzar la fórmula.
Compte amb això.
Dividir per 2 automàticament: el divisor és 4!, no sempre dos.
Exercici 8
De quantes maneres es poden ordenar 3 objectes diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el nombre de permutacions, és a dir el factorial.
Pista 2.
Calcula 3!=3⋅2⋯1.
Com es fa
3!=6. La primera posició té totes les opcions, la segona una menys, i així fins a la darrera, que només en té una.
Compte amb això.
Multiplicar el nombre d'objectes per ell mateix en comptes de fer el factorial.
Exercici 9
Hi ha 2 rutes fins a la plaça i 8 rutes des de la plaça. Quants camins diferents es poden formar triant-ne un de cada?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: es multiplica.
Pista 2.
Per cada una de les 2 primeres opcions hi ha 8 segones.
Com es fa
2⋅8=16. Es multiplica perquè les dues etapes es combinen; si fossin alternatives excloents («o l'una o l'altra»), els recomptes se sumarien.
Compte amb això.
Sumar en comptes de multiplicar, cosa que respon a una pregunta diferent.
Exercici 10
D'entre 16 elements diferents, de quantes maneres es poden triar i ordenar 5? No es pot repetir cap element.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Com que l'ordre importa i no es pot repetir, cada etapa té una opció menys.
Pista 2.
Multiplica 16 per els 4 números següents cap avall.
Com es fa
Hi ha 524160 maneres: 16⋅15⋅14⋅13⋅12. Cada factor baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir, i l'ordre importa perquè les posicions són diferents.
Compte amb això.
Fer servir el mateix nombre d'opcions a cada etapa, com si es pogués repetir.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.