Quants grups de 5 persones es poden triar entre 12, sense càrrecs diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Compta primer les maneres de triar-les i ordenar-les.
Pista 2.
Com que l'ordre no importa, cada grup s'ha comptat 5!=120 vegades: divideix-hi.
Com es fa
Triant i ordenant serien 95040 maneres, i cada grup s'ha comptat 5!=120 vegades, de manera que el resultat és 95040:120=792. Entendre la divisió pels ordres repetits és més útil que memoritzar la fórmula.
Compte amb això.
Dividir per 2 automàticament: el divisor és 5!, no sempre dos.
Exercici 2
De quantes maneres es poden ordenar 9 objectes diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el nombre de permutacions, és a dir el factorial.
Pista 2.
Calcula 9!=9⋅8⋯1.
Com es fa
9!=362880. La primera posició té totes les opcions, la segona una menys, i així fins a la darrera, que només en té una.
Compte amb això.
Multiplicar el nombre d'objectes per ell mateix en comptes de fer el factorial.
Exercici 3
Hi ha 11 primers plats i 6 segons plats. Quants menús diferents es poden formar triant-ne un de cada?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: es multiplica.
Pista 2.
Per cada una de les 11 primeres opcions hi ha 6 segones.
Com es fa
11⋅6=66. Es multiplica perquè les dues etapes es combinen; si fossin alternatives excloents («o l'una o l'altra»), els recomptes se sumarien.
Compte amb això.
Sumar en comptes de multiplicar, cosa que respon a una pregunta diferent.
Exercici 4
D'entre 14 elements diferents, de quantes maneres es poden triar i ordenar 4? No es pot repetir cap element.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Com que l'ordre importa i no es pot repetir, cada etapa té una opció menys.
Pista 2.
Multiplica 14 per els 3 números següents cap avall.
Com es fa
Hi ha 24024 maneres: 14⋅13⋅12⋅11. Cada factor baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir, i l'ordre importa perquè les posicions són diferents.
Compte amb això.
Fer servir el mateix nombre d'opcions a cada etapa, com si es pogués repetir.
Exercici 5
Quants grups de 5 persones es poden triar entre 11, sense càrrecs diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Compta primer les maneres de triar-les i ordenar-les.
Pista 2.
Com que l'ordre no importa, cada grup s'ha comptat 5!=120 vegades: divideix-hi.
Com es fa
Triant i ordenant serien 55440 maneres, i cada grup s'ha comptat 5!=120 vegades, de manera que el resultat és 55440:120=462. Entendre la divisió pels ordres repetits és més útil que memoritzar la fórmula.
Compte amb això.
Dividir per 2 automàticament: el divisor és 5!, no sempre dos.
Exercici 6
De quantes maneres es poden ordenar 10 objectes diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el nombre de permutacions, és a dir el factorial.
Pista 2.
Calcula 10!=10⋅9⋯1.
Com es fa
10!=3628800. La primera posició té totes les opcions, la segona una menys, i així fins a la darrera, que només en té una.
Compte amb això.
Multiplicar el nombre d'objectes per ell mateix en comptes de fer el factorial.
Exercici 7
Hi ha 2 tipus de pa i 7 tipus d'ingredient. Quants entrepans diferents es poden formar triant-ne un de cada?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: es multiplica.
Pista 2.
Per cada una de les 2 primeres opcions hi ha 7 segones.
Com es fa
2⋅7=14. Es multiplica perquè les dues etapes es combinen; si fossin alternatives excloents («o l'una o l'altra»), els recomptes se sumarien.
Compte amb això.
Sumar en comptes de multiplicar, cosa que respon a una pregunta diferent.
Exercici 8
D'entre 10 elements diferents, de quantes maneres es poden triar i ordenar 3? No es pot repetir cap element.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Com que l'ordre importa i no es pot repetir, cada etapa té una opció menys.
Pista 2.
Multiplica 10 per els 2 números següents cap avall.
Com es fa
Hi ha 720 maneres: 10⋅9⋅8. Cada factor baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir, i l'ordre importa perquè les posicions són diferents.
Compte amb això.
Fer servir el mateix nombre d'opcions a cada etapa, com si es pogués repetir.
Exercici 9
Quants grups de 3 persones es poden triar entre 13, sense càrrecs diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Compta primer les maneres de triar-les i ordenar-les.
Pista 2.
Com que l'ordre no importa, cada grup s'ha comptat 3!=6 vegades: divideix-hi.
Com es fa
Triant i ordenant serien 1716 maneres, i cada grup s'ha comptat 3!=6 vegades, de manera que el resultat és 1716:6=286. Entendre la divisió pels ordres repetits és més útil que memoritzar la fórmula.
Compte amb això.
Dividir per 2 automàticament: el divisor és 3!, no sempre dos.
Exercici 10
De quantes maneres es poden ordenar 11 objectes diferents?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el nombre de permutacions, és a dir el factorial.
Pista 2.
Calcula 11!=11⋅10⋯1.
Com es fa
11!=39916800. La primera posició té totes les opcions, la segona una menys, i així fins a la darrera, que només en té una.
Compte amb això.
Multiplicar el nombre d'objectes per ell mateix en comptes de fer el factorial.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.