Recompte i combinatòria: importa l'ordre? es pot repetir?

⏱ 7 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 108 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Comptar casos sembla elemental i és on es perden més exercicis de tot el bloc. El motiu és que abans de comptar cal decidir dues coses, i si es decideixen malament el recompte surt perfecte i la resposta és incorrecta.

El que has de dominar abans: la multiplicació, els espais mostrals i la idea d'ordre en una llista.

El principi multiplicatiu

Si una elecció es fa en etapes, amb $a$ opcions per a la primera i $b$ per a la segona per a cadascuna de les primeres, el total és

a\cdot b.

Un arbre o una taula permeten veure-ho: de cada branca de la primera etapa en surten $b$ de la segona.

I si les alternatives són excloents entre si, els recomptes se sumen en comptes de multiplicar-se. Decidir si toca sumar o multiplicar és la primera decisió: es multiplica quan les etapes es combinen, i se suma quan són casos alternatius.

Les dues preguntes que cal respondre abans de comptar

Es permet repetir? Pot aparèixer el mateix element dues vegades?

Canviar l'ordre produeix un resultat nou? $AB$ i $BA$ són el mateix o són diferents?

Les quatre combinacions d'aquestes dues respostes donen els quatre casos clàssics del recompte.

Ordenar i triar

Ordenar $n$ objectes diferents (permutacions):

n! = n\,(n-1)\cdots 2\cdot 1.

Triar i ordenar $k$ objectes d'entre $n$ , sense repetir (variacions):

n\,(n-1)\cdots(n-k+1).

Hi ha $k$ factors, i cada un baixa d'un perquè l'element ja triat no es pot repetir.

Triar $k$ d'entre $n$ sense que importi l'ordre (combinacions):

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \qquad 0\leq k\leq n, \qquad 0! = 1.

D'on surt la divisió. Si l'ordre no importa, cada grup de $k$ elements s'ha comptat $k!$ vegades (una per cada ordre possible), de manera que cal dividir per $k!$ . Entendre aquesta divisió és més útil que memoritzar la fórmula.

No divideixis per dos automàticament

Quan l'ordre no importa, es divideix pel nombre d'ordres que representen el mateix resultat, i aquest nombre és $k!$ , no sempre $2$ .

Amb grups de dos elements, $2! = 2$ , i efectivament es divideix per dos. Amb grups de tres, $3! = 6$ . Amb grups de quatre, $4! = 24$ .

L'error de dividir sempre per dos apareix quan s'aplica la regla per inèrcia després d'haver-la vista amb parelles.

I una altra cosa que depèn del context: en un codi, el zero pot ser una primera xifra perfectament vàlida; en un nombre de dues xifres, no, perquè $07$ no és un nombre de dues xifres. L'enunciat decideix quines opcions compten, i llegir-lo amb cura és part del recompte.

Càrrecs o representants: quan importa l'ordre

D'entre sis persones, quantes maneres hi ha de triar presidència i secretaria? I de triar dues representants sense càrrec diferenciat?

Primer cas: amb càrrecs. Els càrrecs són diferents, de manera que l'ordre importa: triar la Maria de presidenta i el Joan de secretari no és el mateix que a l'inrevés.

6\cdot 5 = 30.

Sis opcions per a la presidència i, per a cada una, cinc per a la secretaria (la persona ja triada no pot repetir).

Segon cas: sense càrrecs diferenciats. Ara l'ordre no importa: el grup format per la Maria i el Joan és el mateix tant si els anomenes en un ordre com en l'altre.

Cada parella s'havia comptat $2! = 2$ vegades en el recompte anterior, de manera que

\frac{30}{2} = 15.

Comprovació amb la fórmula combinatòria.

\binom62 = \frac{6!}{2!\,4!} = \frac{6\cdot 5}{2} = 15 \quad\checkmark

La pregunta que distingeix els dos casos. «Si intercanvio les dues persones triades, és un resultat diferent?» Si la resposta és sí (perquè tenen càrrecs diferents), l'ordre importa. Si és no, s'ha de dividir.

Un error que convé veure. Comptar $15$ per al primer cas seria perdre la meitat dels resultats: amb càrrecs diferenciats hi ha efectivament $30$ assignacions possibles, i això es pot comprovar enumerant-les amb poques persones.

Codis amb i sense repetició

Quants codis de tres xifres del $0$ al $9$ hi ha si es permet repetir? I si no?

Amb repetició. Cada posició té $10$ opcions, independentment de les altres:

10\cdot 10\cdot 10 = 10^{3} = 1\,000.

Van del $000$ al $999$ , i efectivament són mil. El zero compta com a primera xifra perquè es tracta d'un codi, no d'un nombre.

Sense repetició. La primera posició té $10$ opcions, la segona $9$ (la xifra ja feta servir queda fora) i la tercera $8$ :

10\cdot 9\cdot 8 = 720.

Comprovació de coherència. Els codis sense repetició han de ser menys que els que permeten repetir: $720 < 1\,000$ ✓

La diferència, en concret. $1\,000 - 720 = 280$ codis tenen almenys una xifra repetida. Es pot comprovar: els que tenen les tres xifres iguals són $10$ ( $000$ a $999$ amb xifres idèntiques), i els que en tenen exactament dues iguals són $270$ . I $10 + 270 = 280$ ✓

El contrast amb un nombre. Si l'enunciat demanés nombres de tres xifres, el zero no podria anar al davant: hi hauria $9$ opcions per a la primera posició i el total seria $9\cdot 10\cdot 10 = 900$ . La paraula de l'enunciat («codi» o «nombre») canvia el resultat, i és el detall que més es passa per alt.

Respon les dues preguntes per escrit

Abans de comptar, escriu-ho: «es pot repetir: sí/no» i «l'ordre importa: sí/no».

Aquestes dues línies determinen quina tècnica toca, i deixar-les escrites fa que el corrector vegi que has entès el problema encara que el càlcul final tingui un error. Amb pocs elements, també val la pena enumerar-ne alguns per comprovar que el plantejament encaixa.

Exercici resolt: samarretes i pantalons

Tens $3$ samarretes i $4$ pantalons. Quants conjunts d'una samarreta i uns pantalons pots formar?

Identifica l'estructura. L'elecció es fa en dues etapes que es combinen: una samarreta i uns pantalons. Es multiplica.

3\cdot 4 = 12.

Comprovació amb un arbre. De cada una de les tres samarretes surten quatre branques (una per cada pantaló), i $3 \cdot 4 = 12$ camins. Amb números tan petits es pot enumerar: S1P1, S1P2, S1P3, S1P4, S2P1... i surten dotze.

Quan caldria sumar en comptes de multiplicar. Si la pregunta fos «quantes peces de roba tens en total», la resposta seria $3 + 4 = 7$ : són alternatives, no combinacions. La diferència entre les dues preguntes és la conjunció: «i» multiplica, «o» entre alternatives excloents suma.

Per què l'ordre no es planteja aquí. Perquè les dues etapes trien objectes de categories diferents: no té sentit preguntar si «samarreta primer, pantaló després» és diferent de l'altre ordre. La pregunta de l'ordre només apareix quan es trien diversos elements del mateix conjunt.

Exercici resolt: grups de tres entre cinc

Quants grups de tres persones es poden triar entre cinc, sense càrrecs diferents?

Respon les dues preguntes. No es pot repetir (una persona no pot anar dues vegades al mateix grup) i l'ordre no importa (no hi ha càrrecs).

Camí raonat, sense fórmula. Si l'ordre importés, el recompte seria

5\cdot 4\cdot 3 = 60.

Però cada grup de tres s'ha comptat $3! = 6$ vegades, una per cada ordre en què es pot anomenar. Per tant

\frac{60}{6} = 10.

Comprovació amb la fórmula.

\binom53 = \frac{5!}{3!\,2!} = \frac{120}{6\cdot 2} = 10 \quad\checkmark

Comprovació per enumeració. Amb cinc persones $A, B, C, D, E$ , els grups de tres són: $ABC$ , $ABD$ , $ABE$ , $ACD$ , $ACE$ , $ADE$ , $BCD$ , $BCE$ , $BDE$ , $CDE$ . Deu ✓

Una propietat que convé conèixer. $\binom53 = \binom52 = 10$ . Té sentit: triar tres persones per entrar al grup és equivalent a triar les dues que en queden fora. En general, $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ , i fer servir el valor més petit de $k$ estalvia càlculs.

L'error que aquest exercici detecta. Dividir per $2$ en comptes de per $3!$ , cosa que donaria $30$ . El divisor és el nombre d'ordenacions del grup, i amb grups de tres n'hi ha sis.

On ho faràs servir

El recompte és el pas previ de qualsevol càlcul amb la regla de Laplace: els «casos favorables» i «casos possibles» es compten amb aquestes tècniques.

A batxillerat, la combinatòria es desenvolupa amb les variacions amb repetició, les permutacions amb elements repetits i el binomi de Newton, i és la base de la distribució binomial.

I fora de les matemàtiques, és el que hi ha darrere del càlcul de contrasenyes possibles, de la complexitat d'un problema informàtic i de qualsevol estimació de quantes combinacions pot tenir un sistema. La pregunta «importa l'ordre?» és, literalment, la mateixa.

Ara prova-ho tu. 108 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen