Sistemes de dues equacions: substitució, igualació i reducció

Un sistema planteja dues condicions alhora, i la solució ha de complir-les totes dues. Aquesta és la idea que cal tenir present de principi a fi, perquè l'error més habitual del tema és donar una parella que compleix una equació i oblidar-se de l'altra.

El que has de dominar abans: equacions de primer grau i la interpretació d'una parella de valors.

Què és una solució

La solució d'un sistema de dues equacions amb dues incògnites és una parella $(x, y)$ que satisfà totes dues equacions.

Es dona sempre com a parella, en aquest ordre, i es comprova sempre a les dues equacions.

Els tres mètodes

Substitució. Aïlla una incògnita en una equació i substitueix l'expressió a l'altra. Convé quan en alguna equació hi ha una incògnita amb coeficient $1$ o $-1$, perquè s'aïlla sense fraccions.

Igualació. Aïlla la mateixa incògnita a les dues equacions i iguala les dues expressions. És pràctic quan les dues equacions ja venen en una forma semblant, per exemple totes dues amb la $y$ aïllada.

Reducció. Multiplica les equacions pels factors que calgui i suma-les o resta-les per eliminar una incògnita. És el més ràpid quan els coeficients són múltiples, i és el que es generalitza a sistemes més grans.

Els tres donen el mateix resultat. Triar el que convé no és una qüestió d'estil: és el que fa que el problema triga dos minuts en comptes de cinc.

La lectura gràfica

Cada equació lineal amb algun coeficient diferent de zero representa una recta. El sistema pregunta on es tallen, i hi ha exactament tres possibilitats:

Rectes secants: es tallen en un punt. Una solució (sistema compatible determinat).

Rectes paral·leles diferents: no es tallen mai. Cap solució (incompatible).

Rectes coincidents: són la mateixa recta. Infinites solucions (compatible indeterminat).

Els càlculs han de reflectir aquests tres casos, i reconèixer-los és el que es demana als exercicis de classificació.

Com classificar sense resoldre

Compara les dues equacions. Si una és un múltiple exacte de l'altra (coeficients i terme independent), són la mateixa recta: infinites solucions. Si els coeficients de les incògnites són proporcionals però el terme independent no segueix la mateixa proporció, són paral·leles: cap solució. I si els coeficients no són proporcionals, són secants: una solució.

Exercici resolt: suma i diferència

Resol $x + y = 7$ i $x - y = 1$.

Tria el mètode. Els coeficients de $y$ són oposats: la reducció per suma és immediata.

Suma les dues equacions.

$$2x = 8 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 4.$$

Resta-les, per trobar $y$ directament.

$$(x+y) - (x-y) = 7 - 1 \qquad\Longrightarrow\qquad 2y = 6 \qquad\Longrightarrow\qquad y = 3.$$

Solució: $(4, 3)$.

Comprovació a les dues. $4+3 = 7$ ✓ i $4-3 = 1$ ✓

Un detall de mètode que val la pena. Aquí he trobat les dues incògnites sense substituir en cap moment: sumant he obtingut $x$ i restant he obtingut $y$. Això funciona sempre que el sistema té la forma «suma coneguda i diferència coneguda», i és el camí més curt i més segur, perquè evita arrossegar un error de la primera incògnita a la segona.

Exercici resolt: classificar dos sistemes

Classifica els sistemes:

a) $x + y = 2$ i $2x + 2y = 4$.

b) $x + y = 2$ i $2x + 2y = 5$.

Sistema a). Mira si la segona equació és múltiple de la primera. Multiplicant la primera per $2$:

$$2x + 2y = 4,$$

que és exactament la segona. Les dues equacions són la mateixa condició escrita de dues maneres: la mateixa recta.

Classificació: compatible indeterminat, amb infinites solucions. Qualsevol parella que compleixi $x+y=2$ és solució: $(0,2)$, $(1,1)$, $(5,-3)$ i infinites més.

Comprovació amb reducció. Si restes el doble de la primera a la segona, queda $0 = 0$: cap condició nova, cap valor exclòs.

Sistema b). Multiplicant la primera per $2$ surt $2x+2y = 4$, però la segona diu $2x+2y = 5$. La mateixa expressió no pot valer $4$ i $5$ alhora.

Classificació: incompatible, sense solució. Són dues rectes paral·leles diferents: tenen el mateix pendent i no es tallen mai.

Comprovació amb reducció. Restant, queda $0 = 1$: una igualtat falsa, de manera que cap parella no pot complir les dues equacions.

El criteri que resumeix els dos casos. Quan els coeficients de les incògnites són proporcionals, les rectes tenen el mateix pendent i només hi ha dues opcions: si el terme independent segueix la mateixa proporció, són coincidents (infinites solucions); si no la segueix, són paral·leles (cap solució). Mirar-ho abans de calcular t'estalvia tota la resolució.

On ho faràs servir

Els sistemes són l'eina per a qualsevol problema amb dues quantitats desconegudes relacionades per dues condicions: mescles, entrades de dos preus, dues velocitats, repartiments.

Al bloc de funcions, resoldre un sistema és trobar el punt d'intersecció de dues gràfiques, i això és el que es fa per calcular el punt d'equilibri entre dues tarifes o entre cost i ingrés.

I a batxillerat i a primer d'enginyeria, els sistemes creixen a tres o més incògnites i es resolen amb matrius, però la classificació en els tres casos (una solució, cap, infinites) és exactament la mateixa. El que aquí es veu amb dues rectes, allà es veurà amb plans i amb el teorema de Rouché-Frobenius.