Cossos i extensions: polinomi mínim, grau i fórmula de la torre

⏱ 6 min de lecturaUniversitat

Vols practicar? Aquest tema té 152 exercicis interactius de 3 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

La idea central d'aquest tema és una de les més elegants de l'àlgebra: una extensió de cossos és un espai vectorial. Això permet aplicar tota la maquinària de dimensions i bases a un problema que semblava d'una altra naturalesa, i converteix preguntes difícils («es pot construir això amb regle i compàs?») en càlculs de divisibilitat.

Característica i subcòs primer

La característica d'un cos és el menor nombre de vegades que cal sumar la unitat per obtenir zero, o zero si això no passa mai. Si és positiva, ha de ser prima: si es pogués factoritzar, el producte dels dos factors aplicats a la unitat donaria zero amb tots dos no nuls, cosa impossible en un cos.

El subcòs primer, el més petit que hi ha dins, és isomorf als racionals en característica zero i a les classes mòdul $p$ en característica $p$ . Tot cos conté un d'aquests dos, sense excepcions.

Extensions com a espais vectorials

Si un cos en conté un altre, el gran és un espai vectorial sobre el petit, i el grau de l'extensió és la seva dimensió.

Un element del cos gran és algebraic sobre el petit si algun polinomi no nul amb coeficients al petit l'anul·la. El polinomi mínim és l'únic mònic irreductible que el fa; formalment, genera el nucli de l'aplicació d'avaluació.

Base d'una extensió simple

Si el polinomi mínim té grau $d$ , aleshores

K(\alpha) = K[\alpha] \cong K[x]/(m_\alpha),

i les potències $1, \alpha, \ldots, \alpha^{d-1}$ en formen una base sobre el cos petit.

Generen perquè qualsevol potència més alta es pot reduir dividint pel polinomi mínim. I són independents perquè una relació lineal no trivial donaria un polinomi de grau menor que l'anul·la, contradient la minimalitat.

En particular, el grau de l'extensió és el grau del polinomi mínim.

Compte amb un cas que es passa per alt: si l'element és transcendent, l'anell de polinomis avaluats no és un cos i cal passar al cos de fraccions per obtenir l'extensió.

L'extensió per l'arrel de dos

El polinomi mínim de $\sqrt2$ sobre els racionals és $x^{2}-2$ : l'anul·la, és mònic, i és irreductible perquè no té arrels racionals (i en grau $2$ això n'hi ha prou).

Per tant l'extensió té grau $2$ i una base és $\{1, \sqrt2\}$ , de manera que els seus elements són

\{a + b\sqrt2 : a, b \in \mathbb{Q}\}.

Que és un cos es comprova exhibint l'invers:

\frac{1}{a+b\sqrt2} = \frac{a - b\sqrt2}{a^{2}-2b^{2}}.

El denominador no s'anul·la mai llevat que tots dos coeficients siguin zero: si ho fes, $\sqrt2$ seria el quocient de dos racionals, cosa que sabem que és falsa. Aquesta comprovació és essencial i és on es veu que la irracionalitat de l'arrel és el que fa funcionar tota la construcció.

La fórmula de la torre

Els graus es multipliquen

Si tens tres cossos encaixats i els graus són finits,

[M:K] = [M:L]\cdot[L:K].

La prova és constructiva: si prens una base del pis de baix i una del de dalt, els productes formen una base del conjunt. Generen perquè pots expressar qualsevol element per capes, i són independents perquè una relació lineal, agrupada convenientment, obliga a anul·lar primer els coeficients del pis superior i després els de l'inferior.

Aquesta fórmula tan simple és l'eina més potent del tema, perquè converteix preguntes d'existència en divisibilitat. Si vols saber si un cert element pot viure dins d'una extensió, mira si el seu grau divideix el de l'extensió; si no, la resposta és no, sense necessitat de cap càlcul explícit.

Adjuntar dues arrels, i per què el grau és quatre

Considera l'extensió generada per $\sqrt2$ i $\sqrt3$ sobre els racionals.

Primer pis: adjuntar $\sqrt2$ dona grau $2$ .

Segon pis: cal veure que $\sqrt3$ no és ja dins. Suposem que ho fos: $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ amb $a$ i $b$ racionals. Elevant al quadrat,

3 = a^{2} + 2b^{2} + 2ab\sqrt2.

Com que $\sqrt2$ és irracional, el coeficient que l'acompanya ha de ser zero, o sigui $ab = 0$ . Si $b = 0$ , llavors $\sqrt3$ seria racional, fals. Si $a = 0$ , llavors $3 = 2b^{2}$ amb $b$ racional, també fals. Contradicció.

Per tant el segon pis també té grau $2$ , i per la fórmula de la torre el grau total és $2\cdot 2 = 4$ . Una base és

\{1,\ \sqrt2,\ \sqrt3,\ \sqrt6\}.

Una conseqüència gratuïta: com que $4$ no és divisible per $3$ , aquesta extensió no pot contenir cap arrel cúbica de $2$ . No ha calgut fer cap càlcul amb arrels cúbiques.

Cossos finits

Un cos finit és un espai vectorial de dimensió finita sobre el seu subcòs primer, i per tant té $p^{n}$ elements per a algun primer i algun exponent. No hi ha cossos de $6$ elements ni de $10$ .

Per a cada potència d'un primer existeix, fins a isomorfisme, un únic cos d'aquella mida. Aquest resultat estructural s'enuncia aquí sense demostració completa. El seu grup multiplicatiu és sempre cíclic.

El cos de quatre elements no és el dels residus mòdul quatre

Les classes mòdul $4$ no formen un cos: la classe de $2$ és un divisor de zero, perquè el seu quadrat és zero.

El cos de quatre elements es construeix com a quocient de polinomis sobre les classes mòdul $2$ per $x^{2}+x+1$ , que és irreductible perquè no té cap de les dues arrels possibles. Si $\alpha$ és la classe de $x$ , aleshores $\alpha^{2} = \alpha + 1$ i els quatre elements són $0$ , $1$ , $\alpha$ i $\alpha+1$ .

Aquí es veu que «cos de $p^{n}$ elements» i «classes mòdul $p^{n}$ » són coses diferents tret que l'exponent valgui $1$ .

Exercici resolt: grau d'una arrel cúbica

Quin és el grau de l'extensió generada per l'arrel cúbica de $2$ sobre els racionals?

El candidat a polinomi mínim és $x^{3}-2$ . L'anul·la i és mònic; falta veure que és irreductible.

Per què ho és. Si un polinomi de grau $3$ factoritza, algun factor ha de tenir grau $1$ , és a dir ha de tenir una arrel al cos. Pel teorema de l'arrel racional, les úniques candidates serien els divisors de $2$ , és a dir $\pm1$ i $\pm2$ , i cap d'ells l'anul·la. Per tant és irreductible.

(També sortiria per Eisenstein amb el primer $2$ .)

Conclusió: el grau és $3$ i una base és $\{1,\ \sqrt[3]{2},\ \sqrt[3]{4}\}$ .

Una conseqüència. Com que $3$ no divideix cap potència de $2$ , aquesta extensió no es pot obtenir per una cadena d'extensions quadràtiques. Aquesta és exactament la raó per la qual la duplicació del cub no es pot fer amb regle i compàs: les construccions amb aquests instruments només generen extensions de grau una potència de $2$ .

Exercici resolt: decidir si un element pertany a una extensió

Pot l'extensió generada per $\sqrt[4]{2}$ contenir $\sqrt[3]{2}$ ?

Graus. El polinomi mínim de $\sqrt[4]{2}$ és $x^{4}-2$ , irreductible per Eisenstein amb el primer $2$ . Per tant l'extensió té grau $4$ .

El grau de l'altre element és $3$ , com hem vist.

Per la fórmula de la torre, si aquell element hi visqués, el grau $3$ hauria de dividir el grau $4$ . I no el divideix.

Conclusió: no hi pot ser. I fixa't que no hem hagut de fer cap càlcul amb radicals ni intentar expressar un en funció de l'altre. Aquest és el poder real de la fórmula de la torre: converteix preguntes d'existència en aritmètica elemental de divisors.

Ara prova-ho tu. 152 exercicis d'aquest tema, de 3 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen