Operacions amb signes i ordre de prioritat

Aquest és el tema que més errors tontos genera de tot el curs, i gairebé sempre pel mateix: aplicar la regla dels signes de la multiplicació dins d'una suma. Si entens per què són coses diferents, t'estalvies anys de rectificacions.

El que has de dominar abans: nombres enters, l'oposat i el valor absolut.

Sumar i restar amb signes

Pensa-ho sempre a la recta numèrica. Sumar un positiu és avançar cap a la dreta; sumar un negatiu és avançar cap a l'esquerra.

I la regla que ho simplifica tot:

$$a - b = a + (-b).$$

Restar un nombre és el mateix que sumar el seu oposat. Això vol dir que totes les restes es poden convertir en sumes, i així només has de pensar en una operació. Per exemple, $-7 + 12 - (-3)$ es converteix en $-7 + 12 + 3$, que ja no té cap resta.

Multiplicar i dividir amb signes

Aquí sí que hi ha regla, i és curta: dos signes iguals donen positiu, dos signes diferents donen negatiu.

$$(+)\cdot(+) = +,\qquad (-)\cdot(-) = +,\qquad (+)\cdot(-) = -,\qquad (-)\cdot(+) = -.$$

Val exactament igual per a la divisió.

L'ordre de les operacions

Quan hi ha diverses operacions barrejades, l'ordre no és negociable:

1. Parèntesis, de dins cap a fora.
2. Potències i arrels.
3. Multiplicacions i divisions, d'esquerra a dreta.
4. Sumes i restes, d'esquerra a dreta.

Les paraules «d'esquerra a dreta» són importants. En $12 : 3 \cdot 2$, la divisió i la multiplicació tenen la mateixa prioritat, de manera que es fan en l'ordre en què apareixen: primer $12:3 = 4$, i després $4\cdot 2 = 8$. El resultat no és $2$.

La propietat distributiva

$$a(b+c) = ab + ac.$$

Multiplicar per un nombre el que hi ha dins d'un parèntesi vol dir multiplicar-lo per cada terme. La paraula clau és cada: no només pel primer.

I d'aquí surt el que fa un signe menys davant d'un parèntesi: és multiplicar-ho tot per $-1$, o sigui canviar el signe de tots els termes de dins.

$$-(3 - 5) = -3 + 5 = 2.$$

Dividir per zero

No es pot. No és que doni un nombre estrany: és que no existeix cap resposta. Si $6:0$ valgués alguna cosa, aquell nombre multiplicat per $0$ hauria de donar $6$, i qualsevol cosa multiplicada per zero dona zero.

En canvi, zero dividit per un altre nombre sí que es pot i sempre dona zero: $0:5 = 0$.

Exercici resolt: suma amb un negatiu restat

Calcula $-7 + 12 - (-3)$.

Converteix la resta en suma. Restar $-3$ és sumar $3$:

$$-7 + 12 + 3.$$

Opera d'esquerra a dreta. $-7 + 12 = 5$, i $5 + 3 = \mathbf{8}$.

Comprovació a la recta. Comences a $-7$, avances $12$ cap a la dreta (arribes a $5$) i n'avances $3$ més (arribes a $8$). Correcte.

L'error que calia esquivar: veure els dos signes menys de - (-3) i pensar en la regla dels signes de la multiplicació. Aquí funciona per un altre motiu (restar l'oposat), però el resultat és el mateix i convé tenir clar el perquè.

Exercici resolt: trobar l'error d'un company

Una alumna escriu $4 - 2(3-5) = 4 - 6 - 10$. On és l'error? Corregeix-ho de dues maneres.

Què ha fet malament. Ha distribuït el $2$ però s'ha deixat el signe menys que tenia al davant, i a més ha posat el segon terme amb signe equivocat. El factor que distribueix no és $2$, és $-2$.

Manera 1: resoldre el parèntesi primer.

$$3 - 5 = -2,\qquad -2\cdot(-2) = +4,\qquad 4 + 4 = \mathbf{8}.$$

Manera 2: distribuir bé. El factor és $-2$, i s'ha de multiplicar pels dos termes:

$$4 - 2(3-5) = 4 + (-2)(3) + (-2)(-5) = 4 - 6 + 10 = \mathbf{8}.$$

Les dues donen $8$. La resposta de l'alumna donava $-12$.

La lliçó. Quan distribueixis, el signe que hi ha davant del parèntesi forma part del factor. Si t'ajuda, escriu-lo explícitament amb parèntesis, com he fet a la manera 2.

Per què l'ordre de les operacions és com és

Les regles de prioritat no són un conveni arbitrari que algú va decidir: responen al fet que les operacions no tenen totes la mateixa «força».

Una multiplicació és una suma repetida, i una potència és una multiplicació repetida. Cada nivell resumeix el de sota, i per això es resol abans: quan escrius $3 + 4\cdot 5$, el $4\cdot 5$ és una sola quantitat que val $20$, i el que fas és sumar-li $3$. Si ho feies d'esquerra a dreta obtindries $35$, que respon a una expressió diferent, la que s'escriuria $(3+4)\cdot 5$.

Els parèntesis existeixen precisament per poder dir «aquí vull l'altre ordre». Són l'única manera de forçar-ho, i per això no s'han d'estalviar: en una expressió llarga, un parèntesi de més no fa cap mal i un de menys canvia el resultat.

On ho faràs servir

Aquest tema no s'acaba mai, perquè totes les expressions que escriuràs d'ara endavant el fan servir. En les equacions, cada vegada que passes un terme d'un costat a l'altre estàs aplicant les regles de signes. En les fórmules de física, els parèntesis i l'ordre decideixen el resultat. I en qualsevol calculadora o full de càlcul, has d'escriure l'expressió amb els parèntesis correctes perquè la màquina aplica aquestes mateixes regles sense interpretar què volies dir.

Si hi ha un hàbit que val la pena agafar ara, és el de resoldre un pas per línia en comptes de fer-ho tot mentalment. Les expressions amb parèntesis encadenats i signes negatius són on es perden més punts, i gairebé sempre per anar de pressa, no per no saber la regla.