Plantejar problemes amb equacions: de l'enunciat a la x

Resoldre l'equació és la part fàcil d'un problema amb text. La part que decideix la nota és el plantejament, i la part que es descuida més és la interpretació del resultat. Aquest tema és sobretot un mètode de treball.

El que has de dominar abans: equacions de primer grau, amb parèntesis i amb denominadors.

El mètode, pas a pas

1. Defineix la incògnita per escrit, amb unitats. «Sigui $x$ el costat curt, en centímetres.» Aquesta frase és la primera línia de la solució, i sense ella la resta no es pot corregir.

2. Expressa totes les altres quantitats en funció de $x$. Si un costat és tres centímetres més llarg, és $x+3$. Si una edat és el triple d'una altra, és $3x$.

3. Identifica la relació que ha de complir-se. Un total, una diferència, una àrea, un preu. Aquesta relació és l'equació. Normalment hi ha una frase a l'enunciat que la conté.

4. Resol.

5. Interpreta i comprova amb l'enunciat sencer.

La tria de la incògnita importa

Gairebé sempre hi ha diverses opcions, i no totes donen la mateixa feina. La regla pràctica: tria la quantitat més petita o la més senzilla de descriure, perquè així les altres s'expressen sumant en comptes de restant o dividint.

En un problema de dos costats on un és tres unitats més llarg, convé anomenar $x$ el curt: el llarg és $x+3$. Si anomenes $x$ el llarg, el curt és $x-3$, que funciona igual però amb més signes negatius pel camí.

Interpretar la solució

El número que surt de l'equació és una resposta algebraica, no necessàriament la resposta al problema. Cal filtrar-lo pel context:

• una edat o una longitud no pot ser negativa;
• un recompte de persones, entrades o objectes ha de ser enter;
• una quantitat pot tenir un màxim implícit (no pots vendre més entrades de les que hi ha).

Si el resultat no passa el filtre, hi ha un error de càlcul o un error de traducció, i s'han de revisar tots dos.

La comprovació ha de respondre l'enunciat

No n'hi ha prou amb comprovar que el número compleix l'equació: cal comprovar que compleix el que deia l'enunciat. Si l'equació estava mal plantejada, la solució la complirà perfectament i continuarà sent incorrecta.

Exercici resolt: un nombre i el seu doble

La suma d'un nombre i el seu doble és $42$. Troba'l.

Defineix la incògnita. Sigui $x$ el nombre.

Expressa l'altra quantitat. El seu doble és $2x$.

Escriu la relació.

$$x + 2x = 42.$$

Resol.

$$3x = 42 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 14.$$

Comprovació amb l'enunciat. El nombre és $14$ i el seu doble és $28$. La suma: $14 + 28 = 42$ ✓

Un comentari sobre la traducció. «La suma d'un nombre i el seu doble» són dues quantitats que se sumen: $x$ i $2x$. Un error habitual és llegir-ho com «el doble de la suma» i escriure $2(x+x)$, que és una altra cosa. En els enunciats curts, la posició de les paraules és tot el que distingeix una lectura de l'altra, i convé rellegir la frase un cop escrita l'equació per comprovar que diuen el mateix.

Exercici resolt: entrades d'adult i infantils

Onze entrades costen $79$ euros. Les d'adult valen $8$ euros i les infantils $5$. Quantes n'hi ha de cada tipus?

Defineix la incògnita. Sigui $x$ el nombre d'entrades d'adult.

Expressa la resta. Com que n'hi ha onze en total, les infantils són $11 - x$.

Escriu la relació del cost total.

$$8x + 5(11-x) = 79.$$

Resol.

$$8x + 55 - 5x = 79 \qquad\Longrightarrow\qquad 3x + 55 = 79 \qquad\Longrightarrow\qquad 3x = 24 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 8.$$

Interpreta. Hi ha $8$ entrades d'adult i $11-8 = 3$ infantils.

Comprovació de les dues condicions. En total són $8+3 = 11$ entrades ✓ I el cost és $8\cdot 8 + 3\cdot 5 = 64 + 15 = 79$ euros ✓

El filtre del context. Tots dos resultats són enters i no negatius, com han de ser perquè compten entrades. Si hagués sortit $x = 8{,}5$, la resposta hauria estat que amb aquests preus no es pot arribar exactament a $79$ euros amb onze entrades, i això també seria una resposta vàlida.

La tècnica que fa senzill aquest problema. Haver expressat les infantils com $11-x$ en comptes d'introduir una segona lletra. Amb dues incògnites caldria un sistema; amb una, n'hi ha prou amb una equació. Sempre que una de les dues quantitats es pugui escriure en funció de l'altra amb una dada del problema, convé fer-ho: estalvia tot el tema de sistemes.

On ho faràs servir

Això és el que es demana a totes les proves de competències i a la major part dels problemes d'examen de qualsevol curs: traduir una situació a llenguatge matemàtic, resoldre i tornar a interpretar.

Als temes següents el mètode no canvia, només canvia l'eina: amb dues incògnites plantejaràs un sistema, amb relacions quadràtiques una equació de segon grau, i amb condicions de desigualtat una inequació. Els cinc passos són idèntics.

I és la part de les matemàtiques que més es fa servir fora de l'aula, perquè els problemes reals no venen amb l'equació escrita. Venen amb una situació, i el valor està a saber convertir-la en una cosa que es pugui calcular.