Repte del bloc: preparar un experiment i simular-lo

Què ha de conservar la simulació. Les probabilitats del model, incloent-hi el fet que la composició canvia entre la primera i la segona extracció. Una simulació amb reposició donaria una probabilitat diferent ($\frac49$ en comptes de $\frac25$ per a les dues verdes) i no respondria la pregunta.

Procediment amb un dau de sis cares equilibrat.

Assigna les sis fitxes a les sis cares: les cares $1$ a $4$ són les verdes i les cares $5$ i $6$ les grogues.

Primera extracció: tira el dau i apunta el color de la cara que surt.

Segona extracció: torna a tirar el dau. Si surt la mateixa cara que la primera vegada, descarta la tirada i torna a tirar. Aquesta regla és el que implementa la manca de reposició: la fitxa ja treta no pot tornar a sortir.

Per què funciona. Descartant les repeticions, les cinc cares restants queden equiprobables, que és exactament la situació de la segona extracció amb cinc fitxes a la bossa.

Comprovació del model. Si la primera va ser verda (per exemple la cara $2$), les cares vàlides són $1, 3, 4, 5, 6$: tres verdes i dues grogues, és a dir $\frac35$ i $\frac25$ ✓ Coincideix amb l'arbre.

Un procediment alternatiu, encara més directe. Escriu les sis fitxes en sis paperetes idèntiques, treu-ne dues sense tornar-les i apunta els colors. És la simulació més fidel possible, perquè reprodueix l'experiment literalment.

Com s'estima la probabilitat amb $1\,000$ repeticions.

Repeteix el procediment $1\,000$ vegades i compta en quantes hi ha hagut almenys una groga. Si en surten $k$, l'estimació és

Què s'ha d'esperar. Com que la probabilitat teòrica és $0{,}6$, amb $1\,000$ repeticions el resultat hauria de sortir a prop de $600$ èxits. La variabilitat esperable és d'uns $\pm 30$ (aproximadament dues desviacions típiques), de manera que valors entre $570$ i $630$ serien del tot normals.

Què NO demostraria la simulació. Si surten $0{,}58$ o $0{,}62$, no vol dir que la probabilitat teòrica sigui aquesta ni que el càlcul estigui malament: la freqüència observada varia d'una tanda a una altra. És la distinció del tema R02 entre probabilitat del model i freqüència observada.

Per a què serveix, doncs. Per comprovar que el càlcul teòric és plausible, i per detectar un error de plantejament: si la simulació donés sistemàticament $0{,}44$, voldria dir que s'ha simulat amb reposició, i la discrepància delataria l'error del model.

Com s'hauria de reportar. «En $1\,000$ repeticions, $k$ èxits: estimació $\hat p = k/1\,000$, compatible amb el valor teòric $0{,}6$.» Amb el nombre de repeticions sempre indicat, com deia el tema de la freqüència relativa.

Sabent que la primera fitxa ha estat verda, quina és la probabilitat que almenys una de les dues sigui groga? I sabent que almenys una ha estat groga, quina és la probabilitat que la primera fos verda?

Primera pregunta. Si la primera és verda, l'única manera que n'hi hagi una groga és que ho sigui la segona:

Es llegeix directament de l'arbre, a la branca corresponent.

Comparació amb la probabilitat sense condicionar. Era $0{,}6$, i ara és $0{,}4$: saber que la primera ha estat verda fa menys probable que hi hagi alguna groga. Té sentit, perquè s'ha perdut una de les dues oportunitats.

Segona pregunta, que és la condicional inversa. Cal la definició:

El numerador és el camí $VG$, l'únic que compleix les dues condicions:

El denominador ja el tenim: $\frac35 = \frac9{15}$.

Les dues condicionals són diferents: $0{,}4$ i $0{,}444$. Mateixa parella d'esdeveniments, dues preguntes diferents, dos números diferents. No es pot girar la barra.

Comprovació per recompte de camins. Dels tres camins amb almenys una groga ($VG$, $GV$, $GG$, amb probabilitats $\frac4{15}$, $\frac4{15}$, $\frac1{15}$), el que té la primera verda és només $VG$. La seva proporció dins del total és

Aquesta lectura («quina part dels camins favorables compleix també l'altra condició») és la manera intuïtiva d'entendre una condicional: es canvia el grup de referència als camins que compleixen la condició coneguda.

El que mostra l'extensió. Que l'arbre, un cop dibuixat, respon també totes les preguntes condicionades: només cal decidir quins camins formen el nou denominador. És el tema R06 llegit sobre el mateix experiment del repte.