Exercicis de derivades

Anem terme a terme.

El $3x^4$. Baixem el 4 a multiplicar i li restem 1 a l'exponent: $3 \cdot 4x^{3} = 12x^3$.

El $-5x^2$. Igual: baixem el 2 i l'exponent passa a 1: $-5 \cdot 2x^{1} = -10x$.

El $7$. Una constant no canvia mai, i la derivada mesura com canvia una funció. Si no canvia, la derivada és 0. Desapareix.

Sumant-ho tot: $f'(x) = 12x^3 - 10x$.

Aquí hi ha dues funcions multiplicades, i la derivada d'un producte no és el producte de les derivades. S'ha de fer amb la regla del producte.

Anomenem $u = x^2$ i $v = \sin x$. Necessitem les seves derivades per separat:

• $u' = 2x$
• $v' = \cos x$

Ara apliquem la fórmula $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, que es llegeix «derivada de la primera per la segona sense derivar, més la primera sense derivar per la derivada de la segona»:

$f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$

I ja està. No es pot simplificar més, i tampoc cal.

Amb $u = 2x+1$ i $v = x-3$, tenim $u' = 2$ i $v' = 1$.

La regla del quocient diu:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x-3) - (2x+1)\cdot 1}{(x-3)^2}$

Ara desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts:

$2(x-3) = 2x - 6$

I li restem tot el parèntesi: $-(2x+1) = -2x - 1$. El signe menys afecta els dos termes, no només el primer.

$2x - 6 - 2x - 1 = -7$

Les $x$ es cancel·len i queda:

$f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2}$

El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat i sense desenvolupar.

Tenim una funció dins d'una altra: el parèntesi $3x^2-1$ està elevat a 5. Això és la regla de la cadena, i funciona com pelar una ceba: de fora cap a dins.

Pas 1 — deriva la capa de fora, que és «alguna cosa elevada a 5», deixant el parèntesi tal com està:

$5(3x^2-1)^4$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins. La derivada de $3x^2-1$ és $6x$:

$f'(x) = 5(3x^2-1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2-1)^4$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. Si ho haguessis fet, hauries hagut de derivar un polinomi de grau 10. La cadena existeix precisament per estalviar-te això.

L'exponencial té una propietat única: la seva derivada és ella mateixa. Però només quan l'exponent és exactament $x$.

Aquí l'exponent és $2x$, o sigui que hi torna a haver una cadena a dins. La regla completa és:

$(e^{u})' = e^{u} \cdot u'$

Amb $u = 2x$ tenim $u' = 2$, i per tant:

$f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$

Una manera de recordar-ho: l'exponencial no canvia mai, però sempre arrossega la derivada del seu exponent multiplicant.

La regla del logaritme neperià és de les més fàcils de recordar si l'entens com una fracció:

$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$

«A sota, el de dins tal qual; a dalt, la seva derivada.»

Aquí $u = x^2 + 1$, i la seva derivada és $u' = 2x$. Per tant:

$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$

El denominador no es toca mai: es copia exactament el que hi havia dins del logaritme.

El truc és recordar que $\sqrt{u} = u^{1/2}$. Amb això ja pots aplicar la regla de la potència i la cadena:

$f'(x) = \frac{1}{2}(3x+4)^{-1/2} \cdot 3$

L'exponent negatiu vol dir que va a sota, i el $-\tfrac12$ torna a ser una arrel:

$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+4}}$

A la pràctica val la pena memoritzar directament la fórmula:

$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

«La derivada de dins, dividida per dues vegades l'arrel.»

Dues coses a la vegada: el signe del cosinus i la cadena.

El signe. El sinus deriva a cosinus sense signe, però el cosinus deriva a menys sinus. És l'única de les dues que canvia de signe, i és on es perden més punts a l'examen.

La cadena. A dins del cosinus no hi ha $x$ sola, hi ha $3x^2$, i la seva derivada és $6x$.

Juntant-ho:

$f'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x = -6x\sin(3x^2)$

El que hi ha dins del sinus no canvia: segueix sent $3x^2$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 2$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 2 = 3 \cdot 4 - 16 + 2 = 12 - 16 + 2 = -2$

Compte amb el $3 \cdot 2^2$: primer la potència ($2^2 = 4$) i després la multiplicació. No és $(3\cdot 2)^2$.

El resultat $-2$ vol dir que en aquell punt la funció està baixant.

La resposta és $2\cos(2x)$.

Apliquem $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$ amb $u = 2x$:

• La capa de fora, el sinus, deriva a cosinus sense canviar de signe: $\cos(2x)$.
• La derivada de dins és $u' = 2$, que surt multiplicant.

$f'(x) = 2\cos(2x)$

Per què les altres són incorrectes:

• $\cos(2x)$ — s'ha oblidat la cadena, el 2 no ha sortit.
• $-2\cos(2x)$ — s'ha posat el signe menys, que només porta el cosinus en derivar-se, no el sinus.
• $2\cos(x)$ — s'ha derivat també el contingut del parèntesi. El que hi ha dins es copia igual: ha de continuar sent $2x$.