Exercicis de derivades

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $4 x^{3}$, i la seva derivada és $12 x^{2}$.

$f'(x) = - 12 x^{2} \sin{\left(4 x^{3} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $4 x^{3}$. Només multipliquem a fora.

Terme a terme.

El $5 x^{5}$. Baixem el $5$ a multiplicar i l'exponent passa a $4$: $5 \cdot 5x^{4} = 25 x^{4}$.

El $6 x^{3}$. Igual: $6 \cdot 3x^{2} = 18 x^{2}$.

El $7$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 25 x^{4} + 18 x^{2}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $5 x^{2} - 1$ elevat a $5$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $5$», deixant el parèntesi tal qual:

$5\left(5 x^{2} - 1\right)^{4}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $10 x$:

$f'(x) = 5\left(5 x^{2} - 1\right)^{4} \cdot 10 x = 50 x \left(5 x^{2} - 1\right)^{4}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El sinus deriva a cosinus sense canviar de signe. El que canvia de signe és el cosinus.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $5 x$, i la seva derivada és $5$.

$f'(x) = 5 \cos{\left(5 x \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $5 x$. Només multipliquem a fora.

Terme a terme.

El $5 x^{6}$. Baixem el $6$ a multiplicar i l'exponent passa a $5$: $5 \cdot 6x^{5} = 30 x^{5}$.

El $5 x^{4}$. Igual: $5 \cdot 4x^{3} = 20 x^{3}$.

El $4$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 30 x^{5} + 20 x^{3}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $5 x^{2} + 2$ elevat a $6$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $6$», deixant el parèntesi tal qual:

$6\left(5 x^{2} + 2\right)^{5}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $10 x$:

$f'(x) = 6\left(5 x^{2} + 2\right)^{5} \cdot 10 x = 60 x \left(5 x^{2} + 2\right)^{5}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $5 x$, i la seva derivada és $5$.

$f'(x) = - 5 \sin{\left(5 x \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $5 x$. Només multipliquem a fora.

Terme a terme.

El $6 x^{2}$. Baixem el $2$ a multiplicar i l'exponent passa a $1$: $6 \cdot 2x^{1} = 12 x$.

El $6 x$. Igual: $6 \cdot 1 \cdot x^{0} = 6$.

El $12$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 12 x + 6$

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El sinus deriva a cosinus sense canviar de signe. El que canvia de signe és el cosinus.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $5 x^{2}$, i la seva derivada és $10 x$.

$f'(x) = 10 x \cos{\left(5 x^{2} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $5 x^{2}$. Només multipliquem a fora.

Terme a terme.

El $6 x^{3}$. Baixem el $3$ a multiplicar i l'exponent passa a $2$: $6 \cdot 3x^{2} = 18 x^{2}$.

El $6 x$. Igual: $6 \cdot 1 \cdot x^{0} = 6$.

El $10$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 18 x^{2} + 6$