Simulacre d'examen de derivades

Són dues funcions multiplicades, i la derivada d'un producte no és el producte de les derivades.

Amb $u = x^{2}$ i $v = \sin{\left(x \right)}$:

• $u' = 2 x$
• $v' = \cos{\left(x \right)}$

La fórmula $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ es llegeix «derivada de la primera per la segona sense derivar, més la primera sense derivar per la derivada de la segona»:

$f'(x) = 2 x \cdot \sin{\left(x \right)} + x^{2} \cdot \left(\cos{\left(x \right)}\right)$

Que ordenat queda:

$f'(x) = x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $x^{2} - 3$ elevat a $4$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $4$», deixant el parèntesi tal qual:

$4\left(x^{2} - 3\right)^{3}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $2 x$:

$f'(x) = 4\left(x^{2} - 3\right)^{3} \cdot 2 x = 8 x \left(x^{2} - 3\right)^{3}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Amb $u = 2 x + 1$ i $v = x + 4$, tenim $u' = 2$ i $v' = 1$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2 \cdot \left(x + 4\right) - \left(2 x + 1\right)\cdot 1}{\left(x + 4\right)^2}$

Desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts. Compte: el signe menys afecta tot el parèntesi, no només el primer terme.

$7$

Les $x$ es cancel·len i queda un número. El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat:

$f'(x) = \frac{2}{x + 4} - \frac{2 x + 1}{\left(x + 4\right)^{2}}$

Són dues funcions multiplicades, i la derivada d'un producte no és el producte de les derivades.

Amb $u = x^{4}$ i $v = \cos{\left(x \right)}$:

• $u' = 4 x^{3}$
• $v' = - \sin{\left(x \right)}$

La fórmula $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ es llegeix «derivada de la primera per la segona sense derivar, més la primera sense derivar per la derivada de la segona»:

$f'(x) = 4 x^{3} \cdot \cos{\left(x \right)} + x^{4} \cdot \left(- \sin{\left(x \right)}\right)$

Que ordenat queda:

$f'(x) = - x^{4} \sin{\left(x \right)} + 4 x^{3} \cos{\left(x \right)}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $2 x^{2} + 5$ elevat a $5$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $5$», deixant el parèntesi tal qual:

$5\left(2 x^{2} + 5\right)^{4}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $4 x$:

$f'(x) = 5\left(2 x^{2} + 5\right)^{4} \cdot 4 x = 20 x \left(2 x^{2} + 5\right)^{4}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $3 x^{2} + 2$ elevat a $3$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $3$», deixant el parèntesi tal qual:

$3\left(3 x^{2} + 2\right)^{2}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $6 x$:

$f'(x) = 3\left(3 x^{2} + 2\right)^{2} \cdot 6 x = 18 x \left(3 x^{2} + 2\right)^{2}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Amb $u = 5 x + 1$ i $v = 3 x + 4$, tenim $u' = 5$ i $v' = 3$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{5 \cdot \left(3 x + 4\right) - \left(5 x + 1\right)\cdot 3}{\left(3 x + 4\right)^2}$

Desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts. Compte: el signe menys afecta tot el parèntesi, no només el primer terme.

$17$

Les $x$ es cancel·len i queda un número. El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat:

$f'(x) = \frac{5}{3 x + 4} - \frac{3 \left(5 x + 1\right)}{\left(3 x + 4\right)^{2}}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $4 x^{2} - 1$ elevat a $6$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $6$», deixant el parèntesi tal qual:

$6\left(4 x^{2} - 1\right)^{5}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $8 x$:

$f'(x) = 6\left(4 x^{2} - 1\right)^{5} \cdot 8 x = 48 x \left(2 x - 1\right)^{5} \left(2 x + 1\right)^{5}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Anem terme a terme.

El $3x^4$. Baixem el 4 a multiplicar i li restem 1 a l'exponent: $3 \cdot 4x^{3} = 12x^3$.

El $-5x^2$. Igual: baixem el 2 i l'exponent passa a 1: $-5 \cdot 2x^{1} = -10x$.

El $7$. Una constant no canvia mai, i la derivada mesura com canvia una funció. Si no canvia, la derivada és 0. Desapareix.

Sumant-ho tot: $f'(x) = 12x^3 - 10x$.

L'exponencial no canvia en derivar-se, però sempre arrossega la derivada del seu exponent multiplicant.

La regla completa és $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Aquí $u = 5 x$ i $u' = 5$:

$f'(x) = e^{5 x} \cdot 5 = 5 e^{5 x}$

Terme a terme.

El $3 x^{5}$. Baixem el $5$ a multiplicar i l'exponent passa a $4$: $3 \cdot 5x^{4} = 15 x^{4}$.

El $7 x^{2}$. Igual: $7 \cdot 2x^{1} = 14 x$.

El $9$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 15 x^{4} + 14 x$

Terme a terme.

El $5 x^{2}$. Baixem el $2$ a multiplicar i l'exponent passa a $1$: $5 \cdot 2x^{1} = 10 x$.

El $9 x$. Igual: $9 \cdot 1 \cdot x^{0} = 9$.

El $8$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 10 x + 9$