Exercicis de derivades

Són dues funcions multiplicades, i la derivada d'un producte no és el producte de les derivades.

Amb $u = x^{2}$ i $v = \cos{\left(x \right)}$:

• $u' = 2 x$
• $v' = - \sin{\left(x \right)}$

La fórmula $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ es llegeix «derivada de la primera per la segona sense derivar, més la primera sense derivar per la derivada de la segona»:

$f'(x) = 2 x \cdot \cos{\left(x \right)} + x^{2} \cdot \left(- \sin{\left(x \right)}\right)$

Que ordenat queda:

$f'(x) = - x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)}$

Amb $u = x + 1$ i $v = 2 x + 4$, tenim $u' = 1$ i $v' = 2$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1 \cdot \left(2 x + 4\right) - \left(x + 1\right)\cdot 2}{\left(2 x + 4\right)^2}$

Desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts. Compte: el signe menys afecta tot el parèntesi, no només el primer terme.

$2$

Les $x$ es cancel·len i queda un número. El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat:

$f'(x) = - \frac{2 \left(x + 1\right)}{\left(2 x + 4\right)^{2}} + \frac{1}{2 x + 4}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $x^{2} - 3$ elevat a $4$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $4$», deixant el parèntesi tal qual:

$4\left(x^{2} - 3\right)^{3}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $2 x$:

$f'(x) = 4\left(x^{2} - 3\right)^{3} \cdot 2 x = 8 x \left(x^{2} - 3\right)^{3}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

L'exponencial no canvia en derivar-se, però sempre arrossega la derivada del seu exponent multiplicant.

La regla completa és $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Aquí $u = 3 x$ i $u' = 3$:

$f'(x) = e^{3 x} \cdot 3 = 3 e^{3 x}$

La regla del logaritme neperià és fàcil si l'entens com una fracció:

$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$

«A sota, el de dins tal qual; a dalt, la seva derivada.»

Aquí $u = x^{2} + 1$ i $u' = 2 x$, per tant:

$f'(x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

El denominador no es toca: es copia exactament el que hi havia dins del logaritme.

El truc és recordar que $\sqrt{u} = u^{1/2}$. Amb això ja pots aplicar la potència i la cadena:

$f'(x) = \tfrac{1}{2}\left(x^{2} + 1\right)^{-1/2} \cdot 2 x$

L'exponent negatiu vol dir que va a sota, i el $-\tfrac12$ torna a ser una arrel:

$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

A la pràctica val la pena memoritzar la fórmula directament: «la derivada de dins, dividida per dues vegades l'arrel».

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $2 x$, i la seva derivada és $2$.

$f'(x) = - 2 \sin{\left(2 x \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $2 x$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 8 x + 4$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 0 = 0$

El resultat és zero: en aquell punt hi ha un màxim, un mínim o un punt d'inflexió.

Terme a terme.

El $2 x^{4}$. Baixem el $4$ a multiplicar i l'exponent passa a $3$: $2 \cdot 4x^{3} = 8 x^{3}$.

El $6 x^{3}$. Igual: $6 \cdot 3x^{2} = 18 x^{2}$.

El $2$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Són dues funcions multiplicades, i la derivada d'un producte no és el producte de les derivades.

Amb $u = x^{3}$ i $v = \sin{\left(x \right)}$:

• $u' = 3 x^{2}$
• $v' = \cos{\left(x \right)}$

La fórmula $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ es llegeix «derivada de la primera per la segona sense derivar, més la primera sense derivar per la derivada de la segona»:

$f'(x) = 3 x^{2} \cdot \sin{\left(x \right)} + x^{3} \cdot \left(\cos{\left(x \right)}\right)$

Que ordenat queda:

$f'(x) = x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)}$