Exercicis de derivades

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $3 x$, i la seva derivada és $3$.

$f'(x) = - 3 \sin{\left(3 x \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $3 x$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} + 10 x - 7$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 77 = 77$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.

Terme a terme.

El $3 x^{5}$. Baixem el $5$ a multiplicar i l'exponent passa a $4$: $3 \cdot 5x^{4} = 15 x^{4}$.

El $7 x^{2}$. Igual: $7 \cdot 2x^{1} = 14 x$.

El $9$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 15 x^{4} + 14 x$

Amb $u = 3 x + 3$ i $v = 3 x - 1$, tenim $u' = 3$ i $v' = 3$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3 \cdot \left(3 x - 1\right) - \left(3 x + 3\right)\cdot 3}{\left(3 x - 1\right)^2}$

Desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts. Compte: el signe menys afecta tot el parèntesi, no només el primer terme.

$-12$

Les $x$ es cancel·len i queda un número. El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat:

$f'(x) = \frac{3}{3 x - 1} - \frac{3 \left(3 x + 3\right)}{\left(3 x - 1\right)^{2}}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $3 x^{2} + 2$ elevat a $3$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $3$», deixant el parèntesi tal qual:

$3\left(3 x^{2} + 2\right)^{2}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $6 x$:

$f'(x) = 3\left(3 x^{2} + 2\right)^{2} \cdot 6 x = 18 x \left(3 x^{2} + 2\right)^{2}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Aquí es combinen dues regles alhora, que és el que ho fa semblar difícil.

Producte, amb $u = x$ i $v = e^{x}$:

• $u' = 1$
• $v' = e^{x}$ (aquí ja hi ha la cadena: surt el $1$ de l'exponent)

$f'(x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = \left(x + 1\right) e^{x}$

Es pot deixar factoritzat o desenvolupat: les dues formes es donen per bones.

La regla del logaritme neperià és fàcil si l'entens com una fracció:

$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$

«A sota, el de dins tal qual; a dalt, la seva derivada.»

Aquí $u = 5 x + 7$ i $u' = 5$, per tant:

$f'(x) = \frac{5}{5 x + 7}$

El denominador no es toca: es copia exactament el que hi havia dins del logaritme.

El truc és recordar que $\sqrt{u} = u^{1/2}$. Amb això ja pots aplicar la potència i la cadena:

$f'(x) = \tfrac{1}{2}\left(5 x + 9\right)^{-1/2} \cdot 5$

L'exponent negatiu vol dir que va a sota, i el $-\tfrac12$ torna a ser una arrel:

$f'(x) = \frac{5}{2 \sqrt{5 x + 9}}$

A la pràctica val la pena memoritzar la fórmula directament: «la derivada de dins, dividida per dues vegades l'arrel».

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El sinus deriva a cosinus sense canviar de signe. El que canvia de signe és el cosinus.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $3 x^{2}$, i la seva derivada és $6 x$.

$f'(x) = 6 x \cos{\left(3 x^{2} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $3 x^{2}$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 8 x + 4$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 18 = 18$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.