Exercicis de derivades

Terme a terme.

El $4 x^{4}$. Baixem el $4$ a multiplicar i l'exponent passa a $3$: $4 \cdot 4x^{3} = 16 x^{3}$.

El $9 x^{3}$. Igual: $9 \cdot 3x^{2} = 27 x^{2}$.

El $2$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 16 x^{3} + 27 x^{2}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $4 x^{2} + 2$ elevat a $3$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $3$», deixant el parèntesi tal qual:

$3\left(4 x^{2} + 2\right)^{2}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $8 x$:

$f'(x) = 3\left(4 x^{2} + 2\right)^{2} \cdot 8 x = 96 x \left(2 x^{2} + 1\right)^{2}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El sinus deriva a cosinus sense canviar de signe. El que canvia de signe és el cosinus.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $4 x$, i la seva derivada és $4$.

$f'(x) = 4 \cos{\left(4 x \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $4 x$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 9 x^{2} - 2 x + 4$

Pas 2 — substituir $x = 3$:

$f'(3) = 79 = 79$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.

Terme a terme.

El $4 x^{5}$. Baixem el $5$ a multiplicar i l'exponent passa a $4$: $4 \cdot 5x^{4} = 20 x^{4}$.

El $2 x^{2}$. Igual: $2 \cdot 2x^{1} = 4 x$.

El $3$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 20 x^{4} + 4 x$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $4 x^{2} + 5$ elevat a $4$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $4$», deixant el parèntesi tal qual:

$4\left(4 x^{2} + 5\right)^{3}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $8 x$:

$f'(x) = 4\left(4 x^{2} + 5\right)^{3} \cdot 8 x = 32 x \left(4 x^{2} + 5\right)^{3}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $4 x$, i la seva derivada és $4$.

$f'(x) = - 4 \sin{\left(4 x \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $4 x$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 9 x^{2} - 2 x - 7$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 4 = 4$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.

Terme a terme.

El $4 x^{6}$. Baixem el $6$ a multiplicar i l'exponent passa a $5$: $4 \cdot 6x^{5} = 24 x^{5}$.

El $2 x^{2}$. Igual: $2 \cdot 2x^{1} = 4 x$.

El $4$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 24 x^{5} + 4 x$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $4 x^{2} - 1$ elevat a $5$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $5$», deixant el parèntesi tal qual:

$5\left(4 x^{2} - 1\right)^{4}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $8 x$:

$f'(x) = 5\left(4 x^{2} - 1\right)^{4} \cdot 8 x = 40 x \left(2 x - 1\right)^{4} \left(2 x + 1\right)^{4}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.