Exercicis de derivades

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $x^{2} + 5$ elevat a $6$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $6$», deixant el parèntesi tal qual:

$6\left(x^{2} + 5\right)^{5}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $2 x$:

$f'(x) = 6\left(x^{2} + 5\right)^{5} \cdot 2 x = 12 x \left(x^{2} + 5\right)^{5}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

L'exponencial no canvia en derivar-se, però sempre arrossega la derivada del seu exponent multiplicant.

La regla completa és $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Aquí $u = 5 x$ i $u' = 5$:

$f'(x) = e^{5 x} \cdot 5 = 5 e^{5 x}$

La regla del logaritme neperià és fàcil si l'entens com una fracció:

$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$

«A sota, el de dins tal qual; a dalt, la seva derivada.»

Aquí $u = 2 x^{2} + 5$ i $u' = 4 x$, per tant:

$f'(x) = \frac{4 x}{2 x^{2} + 5}$

El denominador no es toca: es copia exactament el que hi havia dins del logaritme.

El truc és recordar que $\sqrt{u} = u^{1/2}$. Amb això ja pots aplicar la potència i la cadena:

$f'(x) = \tfrac{1}{2}\left(2 x^{2} + 6\right)^{-1/2} \cdot 4 x$

L'exponent negatiu vol dir que va a sota, i el $-\tfrac12$ torna a ser una arrel:

$f'(x) = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} + 6}}$

A la pràctica val la pena memoritzar la fórmula directament: «la derivada de dins, dividida per dues vegades l'arrel».

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $2 x^{2}$, i la seva derivada és $4 x$.

$f'(x) = - 4 x \sin{\left(2 x^{2} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $2 x^{2}$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 3 x^{2} - 6 x - 1$

Pas 2 — substituir $x = -1$:

$f'(-1) = 8 = 8$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.

Terme a terme.

El $2 x^{6}$. Baixem el $6$ a multiplicar i l'exponent passa a $5$: $2 \cdot 6x^{5} = 12 x^{5}$.

El $9 x^{2}$. Igual: $9 \cdot 2x^{1} = 18 x$.

El $4$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 12 x^{5} + 18 x$

Són dues funcions multiplicades, i la derivada d'un producte no és el producte de les derivades.

Amb $u = x^{4}$ i $v = \sin{\left(x \right)}$:

• $u' = 4 x^{3}$
• $v' = \cos{\left(x \right)}$

La fórmula $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ es llegeix «derivada de la primera per la segona sense derivar, més la primera sense derivar per la derivada de la segona»:

$f'(x) = 4 x^{3} \cdot \sin{\left(x \right)} + x^{4} \cdot \left(\cos{\left(x \right)}\right)$

Que ordenat queda:

$f'(x) = x^{4} \cos{\left(x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)}$

Amb $u = 2 x + 3$ i $v = 2 x + 2$, tenim $u' = 2$ i $v' = 2$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2 \cdot \left(2 x + 2\right) - \left(2 x + 3\right)\cdot 2}{\left(2 x + 2\right)^2}$

Desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts. Compte: el signe menys afecta tot el parèntesi, no només el primer terme.

$-2$

Les $x$ es cancel·len i queda un número. El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat:

$f'(x) = \frac{2}{2 x + 2} - \frac{2 \left(2 x + 3\right)}{\left(2 x + 2\right)^{2}}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $2 x^{2} - 1$ elevat a $3$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $3$», deixant el parèntesi tal qual:

$3\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $4 x$:

$f'(x) = 3\left(2 x^{2} - 1\right)^{2} \cdot 4 x = 12 x \left(2 x^{2} - 1\right)^{2}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.