Exercicis de derivades

Terme a terme.

El $3 x^{6}$. Baixem el $6$ a multiplicar i l'exponent passa a $5$: $3 \cdot 6x^{5} = 18 x^{5}$.

El $9 x^{2}$. Igual: $9 \cdot 2x^{1} = 18 x$.

El $12$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 18 x^{5} + 18 x$

Amb $u = 5 x + 1$ i $v = x + 4$, tenim $u' = 5$ i $v' = 1$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{5 \cdot \left(x + 4\right) - \left(5 x + 1\right)\cdot 1}{\left(x + 4\right)^2}$

Desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts. Compte: el signe menys afecta tot el parèntesi, no només el primer terme.

$19$

Les $x$ es cancel·len i queda un número. El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat:

$f'(x) = \frac{5}{x + 4} - \frac{5 x + 1}{\left(x + 4\right)^{2}}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $3 x^{2} - 3$ elevat a $4$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $4$», deixant el parèntesi tal qual:

$4\left(3 x^{2} - 3\right)^{3}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $6 x$:

$f'(x) = 4\left(3 x^{2} - 3\right)^{3} \cdot 6 x = 648 x \left(x - 1\right)^{3} \left(x + 1\right)^{3}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Aquí es combinen dues regles alhora, que és el que ho fa semblar difícil.

Producte, amb $u = x$ i $v = e^{2 x}$:

• $u' = 1$
• $v' = 2 e^{2 x}$ (aquí ja hi ha la cadena: surt el $2$ de l'exponent)

$f'(x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = \left(2 x + 1\right) e^{2 x}$

Es pot deixar factoritzat o desenvolupat: les dues formes es donen per bones.

La regla del logaritme neperià és fàcil si l'entens com una fracció:

$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$

«A sota, el de dins tal qual; a dalt, la seva derivada.»

Aquí $u = 5 x^{2} + 3$ i $u' = 10 x$, per tant:

$f'(x) = \frac{10 x}{5 x^{2} + 3}$

El denominador no es toca: es copia exactament el que hi havia dins del logaritme.

El truc és recordar que $\sqrt{u} = u^{1/2}$. Amb això ja pots aplicar la potència i la cadena:

$f'(x) = \tfrac{1}{2}\left(5 x^{2} + 6\right)^{-1/2} \cdot 10 x$

L'exponent negatiu vol dir que va a sota, i el $-\tfrac12$ torna a ser una arrel:

$f'(x) = \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + 6}}$

A la pràctica val la pena memoritzar la fórmula directament: «la derivada de dins, dividida per dues vegades l'arrel».

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $3 x^{2}$, i la seva derivada és $6 x$.

$f'(x) = - 6 x \sin{\left(3 x^{2} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $3 x^{2}$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 6 x^{2} - 2 x + 6$

Pas 2 — substituir $x = -2$:

$f'(-2) = 34 = 34$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.

Terme a terme.

El $4 x^{2}$. Baixem el $2$ a multiplicar i l'exponent passa a $1$: $4 \cdot 2x^{1} = 8 x$.

El $5 x$. Igual: $5 \cdot 1 \cdot x^{0} = 5$.

El $4$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 8 x + 5$

Amb $u = 5 x + 6$ i $v = 2 x - 1$, tenim $u' = 5$ i $v' = 2$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{5 \cdot \left(2 x - 1\right) - \left(5 x + 6\right)\cdot 2}{\left(2 x - 1\right)^2}$

Desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts. Compte: el signe menys afecta tot el parèntesi, no només el primer terme.

$-17$

Les $x$ es cancel·len i queda un número. El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat:

$f'(x) = \frac{5}{2 x - 1} - \frac{2 \left(5 x + 6\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}$