Exercicis de derivades

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El sinus deriva a cosinus sense canviar de signe. El que canvia de signe és el cosinus.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $4 x^{2}$, i la seva derivada és $8 x$.

$f'(x) = 8 x \cos{\left(4 x^{2} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $4 x^{2}$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 9 x^{2} - 6 x + 4$

Pas 2 — substituir $x = -2$:

$f'(-2) = 52 = 52$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.

Terme a terme.

El $5 x^{2}$. Baixem el $2$ a multiplicar i l'exponent passa a $1$: $5 \cdot 2x^{1} = 10 x$.

El $9 x$. Igual: $9 \cdot 1 \cdot x^{0} = 9$.

El $8$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 10 x + 9$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $4 x^{2} - 1$ elevat a $6$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $6$», deixant el parèntesi tal qual:

$6\left(4 x^{2} - 1\right)^{5}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $8 x$:

$f'(x) = 6\left(4 x^{2} - 1\right)^{5} \cdot 8 x = 48 x \left(2 x - 1\right)^{5} \left(2 x + 1\right)^{5}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $4 x^{2}$, i la seva derivada és $8 x$.

$f'(x) = - 8 x \sin{\left(4 x^{2} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $4 x^{2}$. Només multipliquem a fora.

Terme a terme.

El $5 x^{3}$. Baixem el $3$ a multiplicar i l'exponent passa a $2$: $5 \cdot 3x^{2} = 15 x^{2}$.

El $7 x^{2}$. Igual: $7 \cdot 2x^{1} = 14 x$.

El $2$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 15 x^{2} + 14 x$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $5 x^{2} - 1$ elevat a $3$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $3$», deixant el parèntesi tal qual:

$3\left(5 x^{2} - 1\right)^{2}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $10 x$:

$f'(x) = 3\left(5 x^{2} - 1\right)^{2} \cdot 10 x = 30 x \left(5 x^{2} - 1\right)^{2}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El sinus deriva a cosinus sense canviar de signe. El que canvia de signe és el cosinus.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $4 x^{3}$, i la seva derivada és $12 x^{2}$.

$f'(x) = 12 x^{2} \cos{\left(4 x^{3} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $4 x^{3}$. Només multipliquem a fora.

Terme a terme.

El $5 x^{4}$. Baixem el $4$ a multiplicar i l'exponent passa a $3$: $5 \cdot 4x^{3} = 20 x^{3}$.

El $3 x$. Igual: $3 \cdot 1 \cdot x^{0} = 3$.

El $7$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 20 x^{3} + 3$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $5 x^{2} - 3$ elevat a $4$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $4$», deixant el parèntesi tal qual:

$4\left(5 x^{2} - 3\right)^{3}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $10 x$:

$f'(x) = 4\left(5 x^{2} - 3\right)^{3} \cdot 10 x = 40 x \left(5 x^{2} - 3\right)^{3}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.