Exercicis de derivades

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $3 x^{2} - 3$ elevat a $5$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $5$», deixant el parèntesi tal qual:

$5\left(3 x^{2} - 3\right)^{4}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $6 x$:

$f'(x) = 5\left(3 x^{2} - 3\right)^{4} \cdot 6 x = 2430 x \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 1\right)^{4}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Aquí es combinen dues regles alhora, que és el que ho fa semblar difícil.

Producte, amb $u = x$ i $v = e^{3 x}$:

• $u' = 1$
• $v' = 3 e^{3 x}$ (aquí ja hi ha la cadena: surt el $3$ de l'exponent)

$f'(x) = 1 \cdot e^{3 x} + x \cdot 3 e^{3 x} = \left(3 x + 1\right) e^{3 x}$

Es pot deixar factoritzat o desenvolupat: les dues formes es donen per bones.

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El sinus deriva a cosinus sense canviar de signe. El que canvia de signe és el cosinus.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $3 x^{3}$, i la seva derivada és $9 x^{2}$.

$f'(x) = 9 x^{2} \cos{\left(3 x^{3} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $3 x^{3}$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 9 x^{2} + 4 x + 6$

Pas 2 — substituir $x = 1$:

$f'(1) = 19 = 19$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.

Terme a terme.

El $4 x^{3}$. Baixem el $3$ a multiplicar i l'exponent passa a $2$: $4 \cdot 3x^{2} = 12 x^{2}$.

El $2 x^{2}$. Igual: $2 \cdot 2x^{1} = 4 x$.

El $6$. És una constant: no canvia mai, i la derivada mesura com canvia la funció. Se'n va.

$f'(x) = 12 x^{2} + 4 x$

Amb $u = 5 x + 1$ i $v = 3 x + 4$, tenim $u' = 5$ i $v' = 3$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{5 \cdot \left(3 x + 4\right) - \left(5 x + 1\right)\cdot 3}{\left(3 x + 4\right)^2}$

Desenvolupem el numerador amb calma, que és on es perden els punts. Compte: el signe menys afecta tot el parèntesi, no només el primer terme.

$17$

Les $x$ es cancel·len i queda un número. El denominador es deixa tal com està, elevat al quadrat:

$f'(x) = \frac{5}{3 x + 4} - \frac{3 \left(5 x + 1\right)}{\left(3 x + 4\right)^{2}}$

Hi ha una funció dins d'una altra: el parèntesi $3 x^{2} - 1$ elevat a $6$. La cadena funciona com pelar una ceba, de fora cap a dins.

Pas 1 — la capa de fora, «alguna cosa elevada a $6$», deixant el parèntesi tal qual:

$6\left(3 x^{2} - 1\right)^{5}$

Pas 2 — multiplica per la derivada de dins, que és $6 x$:

$f'(x) = 6\left(3 x^{2} - 1\right)^{5} \cdot 6 x = 36 x \left(3 x^{2} - 1\right)^{5}$

Fixa't que no hem desenvolupat mai el parèntesi. La cadena existeix precisament per estalviar-t'ho.

Aquí es combinen dues regles alhora, que és el que ho fa semblar difícil.

Producte, amb $u = x$ i $v = e^{- x}$:

• $u' = 1$
• $v' = - e^{- x}$ (aquí ja hi ha la cadena: surt el $-1$ de l'exponent)

$f'(x) = 1 \cdot e^{- x} + x \cdot (-e^{- x}) = - \left(x - 1\right) e^{- x}$

Es pot deixar factoritzat o desenvolupat: les dues formes es donen per bones.

Dues coses alhora: el signe i la cadena.

El signe. El cosinus, en derivar-se, es converteix en menys sinus. És on es perden més punts a l'examen.

La cadena. Dins no hi ha $x$ sola, hi ha $3 x^{3}$, i la seva derivada és $9 x^{2}$.

$f'(x) = - 9 x^{2} \sin{\left(3 x^{3} \right)}$

El que hi ha dins no canvia: segueix sent $3 x^{3}$. Només multipliquem a fora.

Molt important l'ordre: primer es deriva, després se substitueix. Si substitueixes primer, et queda un número, i la derivada d'un número és zero.

Pas 1 — derivar:

$f'(x) = 9 x^{2} + 10 x - 7$

Pas 2 — substituir $x = 2$:

$f'(2) = 49 = 49$

El resultat és positiu, o sigui que en aquell punt la funció està pujant.