Variables, coordenades i taules: què és una funció

Una funció és una màquina amb una regla: li dones una entrada i et torna una sortida, sempre la mateixa per a la mateixa entrada. Aquesta idea, que sembla trivial, és la que separa una funció de qualsevol altra relació entre dues quantitats.

El que has de dominar abans: els nombres reals i el càlcul de valors numèrics.

Variable independent i dependent

Normalment $x$ és l'entrada o variable independent i $y = f(x)$ és la sortida o variable dependent. Els noms diuen què depèn de què: la sortida depèn de l'entrada, i no a l'inrevés.

La condició que defineix una funció

Cada entrada admesa té una única sortida.

Aquesta condició és asimètrica, i convé llegir-la amb cura:

No es permet que una mateixa entrada doni dues sortides diferents. Si $x=1$ dona $y=2$ en un lloc i $y=4$ en un altre, no és una funció.

Sí que es permet que dues entrades diferents donin la mateixa sortida. A $f(x) = x^{2}$, tant $x=2$ com $x=-2$ donen $4$, i això és perfectament correcte.

Les coordenades

El punt $(x, y)$ es localitza movent-se primer horitzontalment i després verticalment. L'ordre dins del parèntesi importa: $(2,7)$ i $(7,2)$ són punts diferents.

Una gràfica ben feta té els eixos etiquetats amb la magnitud i les unitats, i escales llegibles. Sense aquesta informació, una gràfica no es pot interpretar.

Les taules són una selecció

Una taula és una mostra de parelles, no la descripció completa de la funció. Entre dos valors de la taula hi pot passar qualsevol cosa si no tens la fórmula o el context.

I hi ha un cas on no s'han d'interpretar els punts intermedis: quan les entrades són recomptes enters. Si $n$ és el nombre de paquets enviats, $n = 2{,}5$ no és una entrada prevista pel model, encara que la fórmula la pugui calcular.

Exercici resolt: una taula de valors

Fes una taula de $f(x) = x^{2}$ per a $x = -2, -1, 0, 1, 2$.

Substitueix cada valor, amb parèntesis.

$$f(-2) = (-2)^{2} = 4, \qquad f(-1) = (-1)^{2} = 1, \qquad f(0) = 0,$$$$f(1) = 1, \qquad f(2) = 4.$$

La taula.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Dues coses que es veuen a la taula. Primera: totes les sortides són positives o zero, perquè un quadrat no pot ser negatiu. Segona: la taula és simètrica respecte del zero, perquè $f(-x) = f(x)$.

Per què els parèntesis són obligatoris. Escriure $-2^{2}$ sense parèntesi vol dir $-(2^{2}) = -4$, que és un altre número. En una taula de valors amb entrades negatives, aquest és l'error que més apareix.

I el que anuncia la simetria. Si dibuixes aquests cinc punts veuràs que formen una corba simètrica respecte de l'eix vertical: és una paràbola, i la trobaràs amb detall al tema F04.

Exercici resolt: dues entrades amb la mateixa sortida

La funció $f(x) = x^{2}$ dona la mateixa sortida per a $x = 2$ i $x = -2$. Això contradiu la definició de funció?

No, no la contradiu. I la justificació és el que es demana.

Rellegeix la condició. Diu que cada entrada té una única sortida. Comprovem-ho:

• l'entrada $2$ té una única sortida, que és $4$;
• l'entrada $-2$ té una única sortida, que també és $4$.

Cada entrada té exactament una sortida: la condició es compleix.

El que estaria prohibit seria el contrari: que l'entrada $2$ tingués dues sortides, per exemple $4$ i $-4$. Això sí que trencaria la definició.

La comprovació gràfica. Els punts $(2,4)$ i $(-2,4)$ estan a la mateixa alçada però en verticals diferents. Cap recta vertical no talla la paràbola dues vegades, de manera que és una funció.

Per què la definició és asimètrica. Perquè una funció ha de ser previsible: si poses la mateixa entrada dues vegades, has d'obtenir el mateix resultat. Res no obliga a que resultats iguals vinguin d'entrades diferents.

Un nom que sentiràs més endavant. Les funcions on cada sortida ve d'una sola entrada es diuen injectives, i $f(x)=x^{2}$ no ho és. Però no ser injectiva no treu de ser funció: són dues propietats diferents.

On ho faràs servir

Aquest tema és la base de tot el bloc i de bona part del que ve a batxillerat. Cada model que estudiïs (lineal, quadràtic, invers, exponencial) és una funció, i la primera cosa que en faràs és una taula i una gràfica.

El domini contextual, en concret, és el que distingeix un càlcul correcte d'un model raonable. Les fórmules no saben si compten paquets o quilos; decidir quines entrades tenen sentit és feina teva, i és el que es demana a les proves de competències.

I la notació $f(x)$ t'acompanyarà sempre: a física apareix com $x(t)$ o $v(t)$, a estadística com freqüències en funció de la variable, i a batxillerat com l'objecte sobre el qual es calculen límits i derivades.