Potències i notació científica: propietats i exponents negatius

Les propietats de les potències es poden memoritzar, però memoritzades duren fins al primer examen. Si entens d'on surten (són només comptar factors), no te les has de recordar: les redueixes en deu segons.

El que has de dominar abans: productes, signes i fraccions.

Què és una potència

Per a $n$ natural positiu, $a^{n}$ vol dir multiplicar $a$ per ell mateix $n$ vegades:

$$a^{4} = a\cdot a\cdot a\cdot a.$$

La $a$ és la base i la $n$ és l'exponent.

Les propietats, i d'on surten

Producte de la mateixa base: ajuntes factors.

$$a^{2}\cdot a^{3} = (a\cdot a)(a\cdot a\cdot a) = a^{5} \qquad\Longrightarrow\qquad a^{m}a^{n} = a^{m+n}.$$

Quocient: cancel·les factors comuns.

$$\frac{a^{5}}{a^{2}} = \frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a} = a^{3} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}\quad (a\neq 0).$$

Potència d'una potència: multipliques.

$$(a^{2})^{3} = a^{2}\cdot a^{2}\cdot a^{2} = a^{6} \qquad\Longrightarrow\qquad (a^{m})^{n} = a^{mn}.$$

Producte elevat: es reparteix.

$$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}.$$

Exponent zero i exponent negatiu

Si continues el patró del quocient cap avall, surten sols.

$$\frac{a^{3}}{a^{3}} = a^{0} \qquad\text{i alhora}\qquad \frac{a^{3}}{a^{3}} = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad a^{0} = 1 \quad (a\neq 0).$$ $$\frac{a^{2}}{a^{5}} = a^{-3} \qquad\text{i alhora}\qquad \frac{a^{2}}{a^{5}} = \frac{1}{a^{3}} \qquad\Longrightarrow\qquad a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}.$$

Notació científica

Serveix per escriure nombres molt grans o molt petits sense omplir la pàgina de zeros. Un nombre no nul s'escriu

$$c\cdot 10^{k}, \qquad\text{amb } 1\leq |c| < 10 \text{ i } k \text{ enter.}$$

El coeficient ha de tenir una sola xifra abans de la coma. L'exponent et diu quants llocs mous la coma: positiu cap a la dreta (nombre gran), negatiu cap a l'esquerra (nombre petit).

Per multiplicar o dividir: opera els coeficients per una banda i les potències de $10$ per l'altra, i al final normalitza el coeficient.

Per sumar o restar: cal que tots dos tinguin el mateix exponent. Si no el tenen, converteix-ne un abans.

Exercici resolt: propietats encadenades

Calcula $\dfrac{3^{2}\cdot 3^{4}}{3^{3}}$.

Numerador: mateixa base que es multiplica, o sigui exponents que se sumen:

$$3^{2}\cdot 3^{4} = 3^{6}.$$

Divisió: exponents que es resten:

$$\frac{3^{6}}{3^{3}} = 3^{3} = 27.$$

Comprovació amb números. $3^{2} = 9$, $3^{4} = 81$, $3^{3} = 27$:

$$\frac{9\cdot 81}{27} = \frac{729}{27} = 27 \quad\checkmark$$

El que estalvies. Fer-ho amb les propietats evita multiplicar $729$ i dividir després. Amb exponents més grans, la diferència ja no és comoditat sinó necessitat.

Exercici resolt: notació científica i divisió

Escriu $0{,}000056$ en notació científica i calcula $\dfrac{6\cdot 10^{7}}{2\cdot 10^{3}}$.

Primera part. La primera xifra no nul·la és el $5$. Movent la coma cinc llocs:

$$0{,}000056 = 5{,}6\cdot 10^{-5}.$$

Comprovació ràpida del signe de l'exponent: el nombre és petit (menor que $1$), o sigui que l'exponent ha de ser negatiu ✓

Segona part. Coeficients per una banda, potències per l'altra:

$$\frac{6}{2} = 3, \qquad \frac{10^{7}}{10^{3}} = 10^{4}.$$$$\frac{6\cdot 10^{7}}{2\cdot 10^{3}} = 3\cdot 10^{4}.$$

El coeficient $3$ ja està entre $1$ i $10$: ben escrit.

Comprovació: $60\,000\,000 : 2\,000 = 30\,000 = 3\cdot 10^{4}$ ✓

Com reconèixer quina propietat toca

Davant d'una expressió amb potències, la pregunta no és «quina de les fórmules em sé», sinó què hi ha entre les bases. Mira l'operació que les uneix i la propietat surt sola.

Si les bases es multipliquen i són iguals, els exponents se sumen. Si es divideixen i són iguals, es resten. Si hi ha una potència dins d'una altra, es multipliquen. Si el que està elevat és un producte, l'exponent es reparteix entre els factors. I si les bases se sumen o resten, no hi ha cap propietat: has de calcular cada potència per separat i després operar.

Aquesta última és la part que més es confon, i val la pena repetir-la: les propietats de les potències no parlen mai de sumes. Totes surten de comptar factors, i una suma no es pot descompondre en factors.

Un altre cas que despista és quan les bases són diferents: $2^{3}\cdot 5^{3}$ no es pot escriure com una sola potència de base $2$ o de base $5$, però sí que es pot ajuntar al revés, agrupant les bases, perquè l'exponent és el mateix: $2^{3}\cdot 5^{3} = (2\cdot 5)^{3} = 10^{3}$. Fixa't que aquí la propietat que fas servir és la del producte elevat, llegida de dreta a esquerra. Les propietats funcionen en totes dues direccions, i sovint la que et treu d'un problema és la lectura inversa.

Bases negatives: on va el parèntesi

Un detall petit que canvia el resultat del tot. Compara aquestes dues expressions:

$$(-2)^{4} = 16, \qquad -2^{4} = -16.$$

En la primera, el parèntesi diu que tot el $-2$ està elevat, i com que l'exponent és parell el resultat surt positiu. En la segona no hi ha parèntesi, de manera que primer es calcula $2^{4} = 16$ i després se li posa el signe menys al davant.

La regla general amb parèntesi: amb exponent parell el resultat és positiu, i amb exponent senar conserva el signe de la base. Per això $(-3)^{2} = 9$ però $(-3)^{3} = -27$.

Quan facis exercicis, acostuma't a mirar primer si hi ha parèntesi. És un dels descuits que més punts costen, perquè el càlcul el fas bé i el signe final surt al revés.

On ho faràs servir

La notació científica no és un capritx de l'assignatura: és com s'escriuen de debò les dades a física, química i biologia. La massa d'un electró, la distància a una estrella, la mida d'un virus o la població mundial són nombres que ningú no escriu amb tots els zeros.

I les propietats de les potències et seguiran tota la secundària: apareixen en els radicals (perquè una arrel és una potència d'exponent fraccionari), en els polinomis, en les equacions exponencials i en l'interès compost. Val la pena entendre-les ara, perquè no es tornen a explicar més endavant: es donen per sabudes.