Exercicis de corbes i superfícies

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $x^{2}+y^{2}$ respecte de $x$ i avaluant a $(1,2)$,

$a = 2$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = x^{2}+y^{2} - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-\sin t,\ \cos t,\ 0)$, de norma

$\sqrt{1^{2}\sin^{2}t + 1^{2}\cos^{2}t + 0^{2}} = \sqrt{1}$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 2\pi\sqrt{1} \approx 6.2832$

Cas particular: amb el pas vertical nul, l'hèlix es redueix a una circumferència de radi $1$, i la longitud és la de $1$ volta.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $x^{2}+y^{2}$ respecte de $x$ i avaluant a $(0,1)$,

$a = 0$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = x^{2}+y^{2} - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-\sin t,\ \cos t,\ 0)$, de norma

$\sqrt{1^{2}\sin^{2}t + 1^{2}\cos^{2}t + 0^{2}} = \sqrt{1}$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 4\pi\sqrt{1} \approx 12.5664$

Cas particular: amb el pas vertical nul, l'hèlix es redueix a una circumferència de radi $1$, i la longitud és la de $2$ voltas.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $x^{2}+y^{2}$ respecte de $x$ i avaluant a $(2,0)$,

$a = 4$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = x^{2}+y^{2} - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-\sin t,\ \cos t,\ 1)$, de norma

$\sqrt{1^{2}\sin^{2}t + 1^{2}\cos^{2}t + 1^{2}} = \sqrt{2} \approx 1.4142$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 2\pi\sqrt{2} \approx 8.8858$

Comprovació geomètrica. Si desenrotlles el cilindre, l'hèlix es converteix en una recta, i la longitud és la hipotenusa d'un triangle de catets $2\pi\cdot1$ i $2\pi\cdot1$. Pitàgores dona el mateix resultat.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $x^{2}+y^{2}$ respecte de $x$ i avaluant a $(1,1)$,

$a = 2$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = x^{2}+y^{2} - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-\sin t,\ \cos t,\ 1)$, de norma

$\sqrt{1^{2}\sin^{2}t + 1^{2}\cos^{2}t + 1^{2}} = \sqrt{2} \approx 1.4142$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 4\pi\sqrt{2} \approx 17.7715$

Comprovació geomètrica. Si desenrotlles el cilindre, l'hèlix es converteix en una recta, i la longitud és la hipotenusa d'un triangle de catets $4\pi\cdot1$ i $4\pi\cdot1$. Pitàgores dona el mateix resultat.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $x^{2}+y^{2}$ respecte de $x$ i avaluant a $(2,3)$,

$a = 4$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = x^{2}+y^{2} - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-\sin t,\ \cos t,\ 2)$, de norma

$\sqrt{1^{2}\sin^{2}t + 1^{2}\cos^{2}t + 2^{2}} = \sqrt{5} \approx 2.2361$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 2\pi\sqrt{5} \approx 14.0496$

Comprovació geomètrica. Si desenrotlles el cilindre, l'hèlix es converteix en una recta, i la longitud és la hipotenusa d'un triangle de catets $2\pi\cdot1$ i $2\pi\cdot2$. Pitàgores dona el mateix resultat.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.