Simulacre d'examen de corbes i superfícies

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $x^{2}+y^{2}$ respecte de $x$ i avaluant a $(1,2)$,

$a = 2$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = x^{2}+y^{2} - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-\sin t,\ \cos t,\ 3)$, de norma

$\sqrt{1^{2}\sin^{2}t + 1^{2}\cos^{2}t + 3^{2}} = \sqrt{10} \approx 3.1623$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 2\pi\sqrt{10} \approx 19.8692$

Comprovació geomètrica. Si desenrotlles el cilindre, l'hèlix es converteix en una recta, i la longitud és la hipotenusa d'un triangle de catets $2\pi\cdot1$ i $2\pi\cdot3$. Pitàgores dona el mateix resultat.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $x^{2}-y^{2}$ respecte de $x$ i avaluant a $(1,0)$,

$a = 2$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = x^{2}-y^{2} - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 4)$, de norma

$\sqrt{2^{2}\sin^{2}t + 2^{2}\cos^{2}t + 4^{2}} = \sqrt{20} \approx 4.4721$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 4\pi\sqrt{20} \approx 56.1985$

Comprovació geomètrica. Si desenrotlles el cilindre, l'hèlix es converteix en una recta, i la longitud és la hipotenusa d'un triangle de catets $4\pi\cdot2$ i $4\pi\cdot4$. Pitàgores dona el mateix resultat.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-3\sin t,\ 3\cos t,\ 3)$, de norma

$\sqrt{3^{2}\sin^{2}t + 3^{2}\cos^{2}t + 3^{2}} = \sqrt{18} \approx 4.2426$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 2\pi\sqrt{18} \approx 26.6573$

Comprovació geomètrica. Si desenrotlles el cilindre, l'hèlix es converteix en una recta, i la longitud és la hipotenusa d'un triangle de catets $2\pi\cdot3$ i $2\pi\cdot3$. Pitàgores dona el mateix resultat.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $2x^{2}+y^{2}$ respecte de $x$ i avaluant a $(3,1)$,

$a = 12$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = 2x^{2}+y^{2} - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.

Pas 1 — la velocitat. Derivant, $r'(t) = (-4\sin t,\ 4\cos t,\ 4)$, de norma

$\sqrt{4^{2}\sin^{2}t + 4^{2}\cos^{2}t + 4^{2}} = \sqrt{32} \approx 5.6569$

que és constant: el paràmetre ja és proporcional a l'arc.

Pas 2 — la longitud.

$L = 4\pi\sqrt{32} \approx 71.0861$

Comprovació geomètrica. Si desenrotlles el cilindre, l'hèlix es converteix en una recta, i la longitud és la hipotenusa d'un triangle de catets $4\pi\cdot4$ i $4\pi\cdot4$. Pitàgores dona el mateix resultat.

Fixa't que la longitud no depèn de com parametritzis la corba, només de la seva geometria.

La idea. Per a un gràfic $z = f(x,y)$, el pla tangent és la linealització:

$z = f(p) + f_x(p)(x-p_1) + f_y(p)(y-p_2)$

de manera que el coeficient de $x$ és directament la derivada parcial respecte de $x$.

Aquí: derivant $x^{2}y$ respecte de $x$ i avaluant a $(2,3)$,

$a = 12$

Via superfície implícita. El mateix resultat surt escrivint $F = x^{2}y - z$: el gradient és $(f_x,\ f_y,\ -1)$, que és la normal al pla tangent. Dividint per $-1$ i aïllant $z$ es recupera la mateixa expressió.

Comprovació de regularitat: la tercera component del gradient val sempre $-1$, que mai no és zero. Per tant un gràfic d'una funció derivable és sempre una superfície regular, sense excepcions.