Corbes i superfícies parametritzades: regularitat, longitud i àrea

⏱ 5 min de lecturaUniversitat

Vols practicar? Aquest tema té 106 exercicis interactius de 2 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Parametritzar és descriure un objecte geomètric com la imatge d'una aplicació. Té un avantatge enorme (pots calcular-hi longituds, àrees i integrals) i un perill que cal tenir sempre present: les propietats de la parametrització no són les propietats de l'objecte. Una mala parametrització pot fer semblar singular un punt perfectament llis.

Corbes regulars i longitud

Una corba parametritzada és regular si el vector velocitat no s'anul·la mai. Llavors el vector tangent unitari està ben definit i la longitud entre dos instants és

L = \int_a^b \lVert r'(t)\rVert\,dt.

El paràmetre arc és el que fa que la velocitat sigui constantment $1$ : es construeix integrant la norma de la velocitat i és, essencialment, mesurar el temps amb la distància recorreguda. Localment sempre es pot fer, i simplifica moltes fórmules.

La regularitat depèn de la parametrització, no de la corba

La corba $r(t) = (t^{3}, t^{6})$ té velocitat nul·la a l'origen, de manera que aquesta parametrització no és regular allà. Però la imatge és exactament la mateixa paràbola $y = x^{2}$ , que és una corba perfectament llisa i que admet la parametrització regular $(t, t^{2})$ .

La velocitat nul·la pot ser un defecte del paràmetre, no de la geometria. Quan te'n trobis una, la pregunta correcta és si existeix alguna altra parametrització regular del mateix conjunt.

L'hèlix, la corba de referència

Sigui $r(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ amb $a > 0$ .

Velocitat. $r'(t) = (-a\sin t,\ a\cos t,\ b)$ , de norma

\sqrt{a^{2}\sin^{2}t + a^{2}\cos^{2}t + b^{2}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}},

constant. Això vol dir que $t$ ja és proporcional al paràmetre arc: la corba es recorre a velocitat uniforme.

Longitud d'una volta completa: $2\pi\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ .

Interpretació. Si desenrotlles el cilindre sobre el qual viu l'hèlix, aquesta es converteix en una recta, i la longitud és la hipotenusa d'un triangle de catets $2\pi a$ (la circumferència) i $2\pi b$ (l'alçada guanyada). El teorema de Pitàgores dona exactament el mateix resultat.

Si $b = 0$ es recupera una circumferència de radi $a$ , i la longitud és $2\pi a$ .

Superfícies regulars i pla tangent

Una parametrització de superfície és regular si el producte vectorial de les dues derivades parcials no s'anul·la. Aquesta condició diu dues coses alhora: que les dues derivades són independents (generen un pla) i que aquest pla és el pla tangent. La normal unitària és el producte vectorial normalitzat.

Per a una superfície donada implícitament per $F(x,y,z) = 0$ , si el gradient no s'anul·la al punt, el teorema de la funció implícita garanteix que localment és una superfície regular, i el pla tangent és

\nabla F(p)\cdot(x - p) = 0.

Gradient nul no vol dir singularitat

Si el gradient s'anul·la, el criteri no decideix. Pot ser que el punt sigui realment singular, com l'origen del con $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 0$ ; però també pot ser un artefacte de com has escrit l'equació.

Prova-ho: el pla $z = 0$ es pot escriure com $z = 0$ , amb gradient $(0,0,1)$ mai nul, o com $z^{2} = 0$ , amb gradient $(0,0,2z)$ que s'anul·la a tot el pla. El conjunt és el mateix, i és perfectament llis. El que ha canviat és l'equació.

Conclusió: gradient no nul és una condició suficient de regularitat, no necessària.

Primera forma fonamental i àrea

Amb una parametrització, els tres coeficients mètrics són els productes escalars de les derivades parcials entre elles: $E$ i $G$ són les normes al quadrat, i $F$ és el producte creuat. Amb ells, la longitud infinitesimal és

ds^{2} = E\,du^{2} + 2F\,du\,dv + G\,dv^{2},

i l'element d'àrea és

\sqrt{EG - F^{2}}\;du\,dv = \lVert r_u\times r_v\rVert\;du\,dv.

La igualtat entre les dues expressions és la identitat de Lagrange, i és útil perquè la de l'esquerra funciona en qualsevol dimensió, mentre que la de la dreta només en tres.

(Un avís de notació: aquesta $F$ és un coeficient mètric i no té res a veure amb la funció que defineix una superfície implícita. És una col·lisió de notació clàssica i desafortunada.)

L'àrea de l'esfera, i què falla als pols

Parametritza l'esfera de radi $a$ amb els angles habituals: $r(\theta,\varphi) = (a\sin\varphi\cos\theta,\ a\sin\varphi\sin\theta,\ a\cos\varphi)$ .

Els coeficients. Derivant i fent productes escalars surt $E = a^{2}\sin^{2}\varphi$ , $F = 0$ (les dues direccions són ortogonals, com era d'esperar pels meridians i paral·lels) i $G = a^{2}$ .

Element d'àrea.

\sqrt{EG-F^{2}} = a^{2}\sin\varphi.

Integrant sobre tot el rang, $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi} a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = a^{2}\cdot 2\pi\cdot 2 = 4\pi a^{2}$ . Correcte.

Als pols. Quan $\varphi$ val $0$ o $\pi$ , l'element d'àrea s'anul·la i la parametrització deixa de ser regular. Però l'esfera és perfectament llisa als pols: el que falla és la carta, no la superfície. Per cobrir els pols amb regularitat cal una altra carta, i aquesta necessitat de diverses cartes és l'origen de la noció de varietat.

Un altre avís pràctic: si la parametrització recobreix la superfície més d'una vegada, la integral compta la multiplicitat. Cal assegurar-se que el rang de paràmetres recorre cada punt exactament un cop.

Orientació

Escollir una normal unitària de manera contínua defineix una orientació. No totes les superfícies ho admeten: la banda de Möbius és l'exemple clàssic d'una superfície no orientable, on si segueixes la normal al llarg de la banda tornes al punt de partida amb el sentit invertit.

L'orientació és essencial per al càlcul de fluxos: canviar-la canvia el signe del resultat. I en una superfície amb frontera, la normal indueix l'orientació de la vora que fa servir el teorema de Stokes.

Exercici resolt: pla tangent a un paraboloide

Troba el pla tangent a $z = x^{2}+y^{2}$ al punt $(1,2,5)$ .

Com a superfície implícita. Escrivim $F(x,y,z) = x^{2}+y^{2}-z$ . El gradient és $(2x,\ 2y,\ -1)$ , que al punt val $(2,4,-1)$ i no és nul: la superfície és regular allà.

El pla tangent.

2(x-1) + 4(y-2) - (z-5) = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad z = 2x + 4y - 5.

Comprovació. El punt hi pertany: $2+8-5 = 5$ . Correcte.

Comprovació independent, amb la parametrització. Amb $r(u,v) = (u,v,u^{2}+v^{2})$ , les derivades són $(1,0,2u)$ i $(0,1,2v)$ , que al punt valen $(1,0,2)$ i $(0,1,4)$ . El seu producte vectorial és $(-2,-4,1)$ , proporcional al gradient anterior amb signe canviat. Les dues vies donen el mateix pla, com havia de ser.

Exercici resolt: longitud d'una corba plana

Calcula la longitud de la corba $r(t) = (t,\ t^{3/2})$ entre $t=0$ i $t=1$ .

Velocitat. $r'(t) = (1,\ \tfrac32 t^{1/2})$ , de norma

\lVert r'(t)\rVert = \sqrt{1 + \tfrac94 t}.

Regularitat: la norma no s'anul·la mai, de manera que la corba és regular a tot l'interval.

La integral. Amb el canvi evident,

L = \int_0^{1}\sqrt{1+\tfrac94 t}\;dt = \left[\frac{8}{27}\left(1+\tfrac94 t\right)^{3/2}\right]_0^{1} = \frac{8}{27}\left(\left(\tfrac{13}{4}\right)^{3/2} - 1\right).

Numèricament, uns $1{,}44$ .

Comprovació de plausibilitat. La corba va de $(0,0)$ a $(1,1)$ , de manera que la longitud ha de ser com a mínim la distància en línia recta, $\sqrt2 \approx 1{,}414$ , i no gaire més perquè la corba és suau. El resultat encaixa.

Aquesta comprovació («la longitud no pot ser menor que la corda») és barata i detecta errors de signe o de constant.

Ara prova-ho tu. 106 exercicis d'aquest tema, de 2 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen