Percentatges: trobar la part, el total o el tant per cent

Un percentatge no és una quantitat: és una proporció, i sempre es refereix a alguna cosa. La pregunta que resol la major part dels problemes d'aquest tema no és un càlcul, és: percentatge de què?

El que has de dominar abans: fraccions i decimals.

Què és un percentatge

Un percentatge és una raó amb denominador $100$:

$$p\,\% = \frac{p}{100}.$$

Així, el $18\,\%$ és la fracció $18/100$, o el decimal $0{,}18$. Totes tres escriptures són el mateix nombre, i convé moure's-hi amb comoditat: per calcular, el decimal és el més pràctic; per entendre, la fracció.

El número al qual s'aplica el percentatge s'anomena base o total. Sense base, un percentatge no diu res.

Les tres preguntes

Amb un total $T$, una part $P$ i un percentatge $p$, hi ha tres preguntes diferents, i cada una té la seva fórmula:

$$P = \frac{p}{100}\,T, \qquad T = \frac{P}{p/100}, \qquad p = 100\,\frac{P}{T}.$$

Semblen la mateixa cosa i no ho són. Abans de calcular, escriu què coneixes i què busques: dues de les tres quantitats et les donen i la tercera és la que surt. Aquest pas de mig minut és el que evita la major part dels errors.

Un percentatge pot passar del $100\,\%$ quan una quantitat es compara amb una base més petita: si una ciutat passa de $20\,000$ a $50\,000$ habitants, el creixement és del $150\,\%$. En canvi, una part d'un grup sense repeticions no pot passar del total: no hi pot haver el $120\,\%$ dels alumnes d'una classe aprovats.

Per què els percentatges serveixen per comparar

Els recomptes sols no es poden comparar entre grups de mides diferents. Si en un grup aproven $18$ alumnes i en un altre $21$, no saps on va millor la cosa fins que saps quants n'hi havia a cada grup.

El percentatge posa els dos grups a la mateixa escala, i és el que permet la comparació. Però convé donar també els totals, perquè el mateix percentatge pot correspondre a moltes o poques persones: un $50\,\%$ sobre $4$ persones i un $50\,\%$ sobre $4\,000$ són coses molt diferents tot i ser el mateix número.

Exercici resolt: calcular una part

Calcula el $18\,\%$ de $250$.

Identifica què busques. Tens el total ($250$) i el percentatge ($18\,\%$); busques la part.

Multiplica pel decimal.

$$0{,}18 \cdot 250 = 45.$$

Comprovació mentalment. El $10\,\%$ de $250$ és $25$, i el $8\,\%$ és $20$ (perquè l'$1\,\%$ és $2{,}5$ i $8 \cdot 2{,}5 = 20$). En total, $25 + 20 = 45$ ✓

Comprovació de sentit. El $18\,\%$ és menys d'una cinquena part, i $45$ és menys que $50$, que seria el $20\,\%$. Coherent.

Resposta: $45$. Fixa't que el resultat és més petit que el total, com ha de ser sempre que el percentatge sigui menor que cent.

Exercici resolt: trobar la quantitat inicial

El $35\,\%$ d'una quantitat és $84$. Quina és la quantitat?

Identifica què busques. Tens la part ($84$) i el percentatge ($35\,\%$); busques el total.

Planteja l'equació.

$$0{,}35 \cdot T = 84.$$

Aïlla.

$$T = \frac{84}{0{,}35} = 240.$$

Comprovació. $0{,}35 \cdot 240 = 84$ ✓

Comprovació de sentit abans de calcular. El $35\,\%$ és aproximadament un terç, de manera que el total ha de ser al voltant del triple de $84$, és a dir uns $250$. El resultat $240$ està just on tocava. Aquesta estimació feta abans de dividir et diu si has de dividir o multiplicar: si et sortís $29{,}4$ (que és el que surt de multiplicar $84$ per $0{,}35$), sabries de seguida que has fet l'operació contrària.

La regla pràctica. Quan busques el total, divideixes; quan busques la part, multipliques. I el total sempre surt més gran que la part, sempre que el percentatge sigui menor que cent.

On ho faràs servir

Els percentatges són la forma en què es comunica pràcticament qualsevol dada quantitativa: resultats electorals, atur, inflació, interessos, descomptes, impostos, estadístiques esportives i de salut. Saber-los calcular és menys important que saber de què són percentatge, perquè és aquí on hi ha els malentesos, i de vegades les manipulacions deliberades.

A l'estadística del bloc sis els faràs servir constantment: les freqüències relatives són percentatges, i els gràfics de sectors en són la representació directa.

I al tema següent veuràs el que passa quan els percentatges s'apliquen un darrere l'altre, que és on la intuïció falla més: un augment del $20\,\%$ seguit d'una rebaixa del $20\,\%$ no et torna al punt de partida, i el motiu és precisament que la base ha canviat pel camí.