Exercicis de regressió lineal

Pas 1 — les mitjanes. $\bar x = 1$ i $\bar y = \frac{5}{3}$.

Pas 2 — les sumes centrades.

$S_{xx} = \sum (x_i-\bar x)^{2} = 2, \qquad S_{xy} = \sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 1$

Pas 3 — el pendent.

$\widehat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Comprovació. El signe del pendent ha de coincidir amb la tendència que veus als punts. I recorda que la recta sempre passa pel centre de gravetat $(1, \frac{5}{3})$: això et dona l'ordenada a l'origen sense cap càlcul més.

Pas 1 — el pendent. Amb $S_{xy} = 1$ i $S_{xx} = 2$,

$\widehat\beta_1 = \frac{1}{2}$

Pas 2 — usar que la recta passa pel centre. Aquesta és la propietat que t'estalvia feina:

$\widehat\beta_0 = \bar y - \widehat\beta_1\bar x = \frac{5}{3} - \frac{1}{2}\cdot1 = \frac{7}{6} \approx 1.1667$

La recta ajustada és, doncs, $\widehat y = \frac{7}{6} + \frac{1}{2}x$.

Comprovació barata. Calcula els residus i comprova que sumen zero. Ha de ser així sempre que el model tingui terme independent, perquè les equacions normals imposen que els residus siguin ortogonals a la columna de uns.

Pas 1 — el terme per a la mitjana de la resposta.

$\frac{1}{n} + \frac{(x_0-\bar x)^{2}}{S_{xx}} = \frac{1}{20} + \frac{4}{200} = \frac{7}{100}$

L'arrel d'això val $0.2646$.

Pas 2 — afegir l'error de la nova observació.

$\sqrt{1 + \frac{7}{100}} \approx 1.0344$

Per què l'1. El primer interval només recull la incertesa de la recta, que amb prou dades es fa petita. El segon hi afegeix l'error aleatori propi de l'observació nova, que no desapareix mai per molta mostra que tinguis. Per això el segon és molt més ample: aquí, unes 3.9 vegades.

Si t'interessa on cau la mitjana, el primer; si t'interessa on caurà el pròxim punt, el segon.

Pas 1 — les mitjanes. $\bar x = 2$ i $\bar y = \frac{11}{3}$.

Pas 2 — les sumes centrades.

$S_{xx} = \sum (x_i-\bar x)^{2} = 2, \qquad S_{xy} = \sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 3$

Pas 3 — el pendent.

$\widehat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \approx 1.5000$

Comprovació. El signe del pendent ha de coincidir amb la tendència que veus als punts. I recorda que la recta sempre passa pel centre de gravetat $(2, \frac{11}{3})$: això et dona l'ordenada a l'origen sense cap càlcul més.

Pas 1 — el pendent. Amb $S_{xy} = 3$ i $S_{xx} = 2$,

$\widehat\beta_1 = \frac{3}{2}$

Pas 2 — usar que la recta passa pel centre. Aquesta és la propietat que t'estalvia feina:

$\widehat\beta_0 = \bar y - \widehat\beta_1\bar x = \frac{11}{3} - \frac{3}{2}\cdot2 = \frac{2}{3} \approx 0.6667$

La recta ajustada és, doncs, $\widehat y = \frac{2}{3} + \frac{3}{2}x$.

Comprovació barata. Calcula els residus i comprova que sumen zero. Ha de ser així sempre que el model tingui terme independent, perquè les equacions normals imposen que els residus siguin ortogonals a la columna de uns.

Pas 1 — el terme per a la mitjana de la resposta.

$\frac{1}{n} + \frac{(x_0-\bar x)^{2}}{S_{xx}} = \frac{1}{20} + \frac{0}{100} = \frac{1}{20}$

L'arrel d'això val $0.2236$.

Pas 2 — afegir l'error de la nova observació.

$\sqrt{1 + \frac{1}{20}} \approx 1.0247$

Per què l'1. El primer interval només recull la incertesa de la recta, que amb prou dades es fa petita. El segon hi afegeix l'error aleatori propi de l'observació nova, que no desapareix mai per molta mostra que tinguis. Per això el segon és molt més ample: aquí, unes 4.6 vegades.

Si t'interessa on cau la mitjana, el primer; si t'interessa on caurà el pròxim punt, el segon.

Pas 1 — les mitjanes. $\bar x = 1$ i $\bar y = \frac{4}{3}$.

Pas 2 — les sumes centrades.

$S_{xx} = \sum (x_i-\bar x)^{2} = 2, \qquad S_{xy} = \sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 3$

Pas 3 — el pendent.

$\widehat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \approx 1.5000$

Comprovació. El signe del pendent ha de coincidir amb la tendència que veus als punts. I recorda que la recta sempre passa pel centre de gravetat $(1, \frac{4}{3})$: això et dona l'ordenada a l'origen sense cap càlcul més.

Pas 1 — el pendent. Amb $S_{xy} = 3$ i $S_{xx} = 2$,

$\widehat\beta_1 = \frac{3}{2}$

Pas 2 — usar que la recta passa pel centre. Aquesta és la propietat que t'estalvia feina:

$\widehat\beta_0 = \bar y - \widehat\beta_1\bar x = \frac{4}{3} - \frac{3}{2}\cdot1 = - \frac{1}{6} \approx -0.1667$

La recta ajustada és, doncs, $\widehat y = -\frac{1}{6} + \frac{3}{2}x$.

Comprovació barata. Calcula els residus i comprova que sumen zero. Ha de ser així sempre que el model tingui terme independent, perquè les equacions normals imposen que els residus siguin ortogonals a la columna de uns.

Pas 1 — el terme per a la mitjana de la resposta.

$\frac{1}{n} + \frac{(x_0-\bar x)^{2}}{S_{xx}} = \frac{1}{20} + \frac{9}{300} = \frac{2}{25}$

L'arrel d'això val $0.2828$.

Pas 2 — afegir l'error de la nova observació.

$\sqrt{1 + \frac{2}{25}} \approx 1.0392$

Per què l'1. El primer interval només recull la incertesa de la recta, que amb prou dades es fa petita. El segon hi afegeix l'error aleatori propi de l'observació nova, que no desapareix mai per molta mostra que tinguis. Per això el segon és molt més ample: aquí, unes 3.7 vegades.

Si t'interessa on cau la mitjana, el primer; si t'interessa on caurà el pròxim punt, el segon.

Pas 1 — les mitjanes. $\bar x = \frac{5}{2}$ i $\bar y = \frac{7}{2}$.

Pas 2 — les sumes centrades.

$S_{xx} = \sum (x_i-\bar x)^{2} = 5, \qquad S_{xy} = \sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 8$

Pas 3 — el pendent.

$\widehat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{8}{5} = \frac{8}{5} \approx 1.6000$

Comprovació. El signe del pendent ha de coincidir amb la tendència que veus als punts. I recorda que la recta sempre passa pel centre de gravetat $(\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$: això et dona l'ordenada a l'origen sense cap càlcul més.