Introducció a la teoria de Galois: correspondència entre subcossos i subgrups

⏱ 7 min de lecturaUniversitat

Vols practicar? Aquest tema té 111 exercicis interactius de 3 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

La teoria de Galois fa una cosa que sembla impossible: tradueix un problema sobre cossos (quins subcossos hi ha entre dos donats) en un problema sobre grups finits (quins subgrups té un grup concret). I com que els grups finits es poden enumerar, preguntes que semblaven inabastables passen a ser comprovacions mecàniques.

Aquesta pàgina és una introducció: alguns resultats s'enuncien sense demostració completa i s'indica quan és així.

Cossos de descomposició, separabilitat i normalitat

El cos de descomposició d'un polinomi és la menor extensió on es factoritza completament en factors lineals. Per a un polinomi de grau finit, l'extensió és finita i és única fins a isomorfisme que deixi fix el cos de partida.

Tres adjectius que cal separar bé:

Un polinomi és separable si té totes les arrels diferents al seu cos de descomposició. Una extensió algebraica és separable si ho són els polinomis mínims de tots els seus elements. En característica zero, tota extensió algebraica és separable, de manera que aquesta condició només es vigila en característica positiva.
Una extensió és normal si tot polinomi irreductible amb una arrel dins s'hi descompon completament.
Una extensió finita és de Galois si és normal i separable, cosa que equival a ser cos de descomposició d'un polinomi separable.

Aquestes condicions no són decoratives: són exactament el que fa que la correspondència funcioni.

El grup de Galois

El grup de Galois d'una extensió és el conjunt d'automorfismes del cos gran que deixen fix punt a punt el cos petit, amb la composició.

La restricció clau és aquesta: si un element és arrel d'un polinomi amb coeficients al cos petit, qualsevol automorfisme que fixi el cos petit l'ha d'enviar a una altra arrel del mateix polinomi. Això limita moltíssim les possibilitats. Però compte, no tota permutació de les arrels serveix: l'automorfisme ha de preservar totes les relacions algebraiques entre elles.

Una extensió normal i una que no ho és

Cas normal. Pren l'extensió dels racionals generada per $\sqrt2$ . Un automorfisme ha d'enviar $\sqrt2$ a una arrel de $x^{2}-2$ , o sigui a $\pm\sqrt2$ . Les dues opcions donen automorfismes vàlids:

a+b\sqrt2 \mapsto a+b\sqrt2, \qquad a+b\sqrt2 \mapsto a-b\sqrt2.

El grup és cíclic d'ordre $2$ , que coincideix amb el grau de l'extensió. Això és la signatura d'una extensió de Galois.

Cas no normal. Ara pren l'extensió generada per l'arrel cúbica real de $2$ . Té grau $3$ . Però aquesta extensió és dins dels reals, i de les tres arrels de $x^{3}-2$ només una és real: les altres dues són complexes.

Per tant, un automorfisme hauria d'enviar l'arrel cúbica a una arrel del mateix polinomi que estigui dins del cos, i només hi ha la mateixa. L'únic automorfisme és la identitat: el grup és trivial, d'ordre $1$ .

La conclusió. Grau $3$ i grup d'ordre $1$ : no coincideixen, i per tant l'extensió no és de Galois. El que falla és la normalitat: el polinomi irreductible $x^{3}-2$ té una arrel dins però no s'hi descompon.

El teorema fonamental

Correspondència de Galois

Si l'extensió és finita i de Galois amb grup $G$ , les dues aplicacions

E \longmapsto \operatorname{Gal}(L/E), \qquad H \longmapsto L^{H} = \{a \in L : \sigma(a) = a \text{ per a tot } \sigma\in H\}

són bijeccions inverses entre els cossos intermedis i els subgrups. Inverteixen inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit.

A més, els graus i els índexs es corresponen:

[L:L^{H}] = |H|, \qquad [L^{H}:K] = [G:H].

I un cos intermedi és de Galois sobre el de partida si i només si el subgrup corresponent és normal, i aleshores el grup d'aquella extensió és el quocient.

Aquest teorema s'enuncia aquí sense la demostració completa. La part difícil és provar que el cos fix té exactament el grau esperat; comptar les imatges possibles d'un generador només dona una desigualtat.

Un exemple complet

La correspondència sencera, amb quatre subgrups

Pren l'extensió dels racionals generada per $\sqrt2$ i $\sqrt3$ , que sabem que té grau $4$ .

El grup. Es poden canviar independentment els signes dels dos radicals, de manera que hi ha quatre automorfismes: la identitat, el que canvia només el signe del primer (diguem-ne $\sigma$ ), el que canvia només el del segon ( $\tau$ ) i el que els canvia tots dos. El grup és el producte de dos cíclics d'ordre $2$ , i com que és abelià, tots els seus subgrups són normals.

Els subgrups i els seus cossos fixos:

Subgrup	Cos fix	Grau sobre els racionals
El trivial	Tota l'extensió	$4$
El generat per $\sigma$	L'extensió per $\sqrt3$	$2$
El generat per $\tau$	L'extensió per $\sqrt2$	$2$
El generat pel producte	L'extensió per $\sqrt6$	$2$
Tot el grup	Els racionals	$1$

El cas interessant és l'últim subgrup propi. L'automorfisme que canvia el signe dels dos radicals fixa el seu producte, perquè dos canvis de signe es cancel·len. Per això el cos fix és l'extensió per $\sqrt6$ , que no s'hauria endevinat mirant només els generadors.

El que garanteix el teorema: aquests són tots els cossos intermedis. No n'hi ha cap més, i no cal buscar-ne. Comptar subgrups d'un grup de quatre elements és trivial; buscar subcossos d'una extensió a cegues, no.

I com que el grup és abelià, tots els subgrups són normals i totes les extensions intermèdies són de Galois sobre els racionals.

Radicals i l'abast real del resultat

Un grup és resoluble si admet una cadena de subgrups normals amb quocients abelians. En característica zero, el criteri de Galois diu que un polinomi és resoluble per radicals si i només si el grup de Galois del seu cos de descomposició és resoluble. Aquest resultat profund s'enuncia sense demostració.

Com que els grups simètrics a partir de cinc elements no són resolubles, no hi ha cap fórmula general per radicals per als polinomis de grau cinc o més.

Què no diu el teorema d'Abel i Ruffini

No diu que cap polinomi de grau cinc sigui resoluble. $x^{5}-2$ té arrels perfectament expressables amb radicals i arrels de la unitat; el que passa és que el seu grup no és tot el simètric.

No diu que no es puguin resoldre. Les arrels existeixen, es poden aproximar numèricament amb tanta precisió com vulguis, i es poden estudiar de mil maneres.

El que el teorema afirma és molt més precís: no existeix una fórmula general que faci servir només operacions aritmètiques i radicals. És una afirmació sobre una forma concreta d'expressió, no sobre la possibilitat de resoldre res.

Exercici resolt: el grup dels complexos sobre els reals

Quin és el grup de Galois dels complexos sobre els reals, i quin cos fixa la conjugació?

El grau. Els complexos es generen adjuntant una arrel de $x^{2}+1$ , que és irreductible sobre els reals. Per tant el grau és $2$ .

Els automorfismes. Un automorfisme que fixi els reals ha d'enviar la unitat imaginària a una arrel de $x^{2}+1$ , és a dir a ella mateixa o al seu oposat. Les dues opcions donen aplicacions vàlides: la identitat i la conjugació.

El grup és, doncs, cíclic d'ordre $2$ , que coincideix amb el grau: l'extensió és de Galois.

El cos fix de la conjugació són els números que coincideixen amb el seu conjugat, és a dir exactament els reals.

La correspondència en aquest cas és mínima però completa: el subgrup trivial correspon als complexos, el grup sencer correspon als reals, i no hi ha cap cos intermedi, cosa coherent amb el fet que el grup no té subgrups propis.

Exercici resolt: quants cossos intermedis hi ha

L'extensió generada per l'arrel quarta de $2$ i la unitat imaginària sobre els racionals té grau $8$ i grup de Galois de vuit elements (el grup dièdric de l'octògon). Quants cossos intermedis té?

Pel teorema fonamental, tants com subgrups té el grup.

Comptant subgrups d'aquest grup d'ordre $8$ : n'hi ha $1$ d'ordre $1$ , $5$ d'ordre $2$ , $3$ d'ordre $4$ i $1$ d'ordre $8$ . En total $10$ subgrups, i per tant $10$ cossos intermedis comptant els dos extrems.

Per què això és notable. Buscar subcossos directament seria una tasca desesperant: hauries de considerar totes les combinacions possibles d'elements. En canvi, enumerar els subgrups d'un grup de vuit elements és un exercici elemental que es fa en un full.

I quins són de Galois sobre els racionals? Exactament els que corresponen a subgrups normals. En aquest grup n'hi ha menys de $10$ , cosa que explica per què algunes extensions intermèdies (com la generada per l'arrel quarta real) no són normals.

Ara prova-ho tu. 111 exercicis d'aquest tema, de 3 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen