Funcions de proporcionalitat inversa: la hipèrbola y igual a k partit per x

Aquesta és la primera funció que no està definida a tot arreu, i la primera corba que s'acosta indefinidament a una recta sense tocar-la mai. Les dues coses són conseqüència d'una fórmula molt simple.

El que has de dominar abans: proporcionalitat inversa i el concepte de domini.

La funció i el seu domini

$$f(x) = \frac{k}{x}, \qquad k \neq 0.$$

No està definida a $x = 0$, perquè no es pot dividir per zero. El domini és tots els reals excepte el zero:

$$\text{Domini} = \mathbb{R} \setminus \{0\}.$$

La propietat que la caracteritza és que el producte és constant:

$$x\,f(x) = k \quad \text{per a tot } x \text{ del domini}.$$

Aquesta és la mateixa condició del tema de proporcionalitat inversa, escrita com a funció.

Les dues branques

La gràfica es diu hipèrbola i té dues branques separades, una a cada costat del zero.

Per a $k > 0$: l'entrada i la sortida tenen el mateix signe. Les dues branques són al primer quadrant (totes dues positives) i al tercer (totes dues negatives).

Per a $k < 0$: tenen signes contraris, i les branques són al segon i al quart quadrant.

En context, quan les quantitats són positives (temps, velocitat, longituds), només es fa servir la branca del primer quadrant. Dir-ho forma part de la resposta.

Com es comporta

Per a $k > 0$ i $x > 0$: en augmentar $x$, la sortida disminueix, però no a ritme constant. Això és el que la distingeix d'una funció afí, on cada unitat d'entrada produeix sempre el mateix canvi.

I la gràfica s'apropa als dos eixos sense tallar-los mai:

• si $x$ es fa molt gran, $k/x$ es fa molt petit però no arriba a zero;
• si $x$ es fa molt petit i positiu, $k/x$ es fa molt gran.

Aquestes dues rectes a les quals la corba s'acosta sense tocar-les s'anomenen asímptotes. Aquí són els dos eixos.

Aquesta observació visual prepara l'estudi dels límits de batxillerat, però no fa falta cap límit per interpretar la relació.

Exercici resolt: tres valors d'una hipèrbola

Calcula $f(2)$, $f(3)$ i $f(6)$ per a $f(x) = 12/x$.

Substitueix.

$$f(2) = \frac{12}{2} = 6, \qquad f(3) = \frac{12}{3} = 4, \qquad f(6) = \frac{12}{6} = 2.$$

Comprovació del producte constant. $2\cdot 6 = 12$, $3\cdot 4 = 12$, $6\cdot 2 = 12$ ✓ Els tres donen la mateixa constant.

Què es veu als resultats. Quan l'entrada es dobla (de $3$ a $6$), la sortida es parteix per la meitat (de $4$ a $2$). Això és la definició de proporcionalitat inversa.

I el ritme desigual. De $x=2$ a $x=3$ la sortida baixa dues unitats; de $x=3$ a $x=6$ baixa només dues unitats més, però havent avançat el triple. La corba és molt inclinada a prop del zero i cada vegada més plana a mesura que $x$ creix.

Una pregunta que convé saber respondre. $f(0)$ no existeix, i tampoc no és «infinit»: simplement el zero no és al domini de la funció.

Exercici resolt: un rectangle d'àrea fixa

Un rectangle té àrea $36$ i costats positius $x$ i $y$. Expressa $y$ i explica què passa amb $y$ si $x$ es triplica.

Escriu la relació. L'àrea és el producte dels costats:

$$x\,y = 36 \qquad\Longrightarrow\qquad y = \frac{36}{x}.$$

És una proporcionalitat inversa amb constant $k = 36$, que és precisament l'àrea.

El domini. Els dos costats han de ser positius: $x > 0$. Només es fa servir la branca del primer quadrant.

Què passa si $x$ es triplica. Com que el producte s'ha de mantenir en $36$, si un factor es multiplica per $3$ l'altre s'ha de dividir per $3$:

$$y_{\text{nou}} = \frac{36}{3x} = \frac13\cdot\frac{36}{x} = \frac{y}{3}.$$

La resposta: $y$ es divideix per tres.

Comprovació amb números concrets. Si $x = 4$, llavors $y = 9$ i l'àrea és $36$ ✓ Triplicant, $x = 12$ i $y = 3$, amb àrea $12\cdot 3 = 36$ ✓ I efectivament $3 = 9/3$.

Una observació geomètrica que val la pena. Tots aquests rectangles tenen la mateixa àrea però perímetres molt diferents: el de $6\times 6$ té perímetre $24$, i el de $36\times 1$ en té $74$. Mantenir l'àrea constant no manté res més constant, i és un bon recordatori que dues magnituds relacionades per un producte constant poden donar formes molt diverses.

On ho faràs servir

Aquest model apareix sempre que hi ha un recurs fix repartit: temps i velocitat, pressió i volum d'un gas, intensitat i resistència a tensió fixa, nombre de persones i part que toca a cadascuna.

A física, la llei de Boyle i la llei de la gravitació (amb el quadrat de la distància al denominador) són variants d'aquesta idea. I a tecnologia, qualsevol relació de la forma «producte constant» es representa amb una hipèrbola.

A batxillerat, aquesta funció és el primer exemple de funció racional, i les seves asímptotes són el primer cas de límit infinit. Haver vist aquí que la corba s'acosta als eixos sense tocar-los és la meitat d'aquell concepte.