Sèries numèriques, de funcions i de potències: criteris i radi de convergència

Una sèrie no és «una suma amb infinits termes»: l'infinit no és un número i no s'hi pot sumar fins allà. Una sèrie és el límit de la successió de sumes parcials, i tot el que s'hi pot fer o no fer se segueix d'aquesta definició. Si t'agafes a ella, els criteris deixen de ser una llista que es memoritza i passen a ser conseqüències.

La definició, i la trampa que evita

Donada una successió, formes les sumes parcials $s_N$ i preguntes si tenen límit finit. Si en tenen, la sèrie convergeix i el límit és la seva suma; el residu és la diferència entre la suma i la suma parcial.

D'aquí surt la condició necessària: si la sèrie convergeix, el terme general tendeix a zero, perquè és la diferència de dues sumes parcials consecutives que tendeixen al mateix límit. Però no és suficient: la sèrie harmònica té terme general que tendeix a zero i tanmateix divergeix, perquè cada bloc de termes entre $2^{k-1}+1$ i $2^{k}$ suma com a mínim $1/2$, i n'hi ha infinits blocs.

La sèrie geomètrica és el cas que has de tenir sempre a mà. Per a raó diferent d'$1$, la suma parcial val $(1-r^{N+1})/(1-r)$, de manera que convergeix exactament quan el mòdul de la raó és menor que $1$, amb suma $1/(1-r)$. Amb raó $-1$ les sumes parcials oscil·len i amb mòdul superior a $1$ ni tan sols es compleix la condició necessària.

Criteris per a termes no negatius

Si tots els termes són no negatius, les sumes parcials són creixents, i per tant convergeixen si i només si estan acotades. Tots els criteris d'aquesta secció són maneres de comprovar aquesta acotació.

• Comparació: si el teu terme està entre zero i el d'una sèrie convergent, convergeix. Si domina una divergent, divergeix.
• Comparació pel límit: si el quocient entre dos termes positius tendeix a un límit finit i no nul, les dues sèries tenen el mateix caràcter. És la versió pràctica, perquè només cal mirar el comportament dominant.
• Integral: si la funció és positiva, contínua i decreixent, la sèrie i la integral impròpia tenen el mateix caràcter, i a més la integral acota el residu per sobre i per sota.
• Quocient: si el quocient de termes consecutius té límit menor que $1$, hi ha convergència absoluta; si és més gran, divergeix. Amb límit igual a $1$ no decideix.
• Arrel: anàleg amb l'arrel $n$-èsima del mòdul, amb la mateixa indecisió quan el límit val $1$.

La sèrie de les potències inverses $\sum n^{-p}$ convergeix exactament per a $p > 1$, i es demostra amb el criteri integral. És la referència amb què compararàs gairebé tot.

Signes, convergència absoluta i control de l'error

Una sèrie és absolutament convergent si la sèrie dels mòduls convergeix, i condicionalment convergent si convergeix però la dels mòduls no. La convergència absoluta implica convergència, i a més permet reordenar els termes sense canviar la suma. Amb convergència condicional aquesta llibertat desapareix: reordenant es pot obtenir qualsevol suma que vulguis.

El criteri de Leibniz diu que si els termes en valor absolut decreixen a zero, la sèrie alternada convergeix, i el residu està acotat pel primer terme que no has sumat. Aquesta cota és una de les poques que et dona una garantia explícita d'error.

Sèries de funcions i convergència uniforme

Amb sèries de funcions apareix una distinció essencial. La convergència puntual permet que el nombre de termes necessari depengui del punt; la uniforme exigeix que el mateix nombre serveixi per a tot el domini, és a dir que el suprem de la diferència amb la suma tendeixi a zero.

El criteri de Weierstrass és l'eina pràctica: si cada terme està acotat en mòdul per una constant que no depèn del punt, i la sèrie d'aquestes constants convergeix, la sèrie de funcions convergeix uniformement i absolutament.

Per què importa: una suma uniforme de funcions contínues és contínua, i es pot integrar terme a terme en un compacte. Per derivar cal una hipòtesi més forta: que la sèrie de les derivades convergeixi uniformement, i que la sèrie original convergeixi en algun punt.

L'exemple que ho il·lustra és la successió de potències $x^{n}$ a l'interval de $0$ a $1$: convergeix puntualment a una funció que val zero a tot arreu excepte a l'extrem, on val $1$. El límit no és continu, i per tant la convergència no pot ser uniforme.

Sèries de potències i Taylor

Per a una sèrie de potències centrada en un punt, el radi de convergència és

$$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}},$$

amb els convenis que l'invers de zero és infinit i a l'inrevés. Dins del radi hi ha convergència absoluta, i uniforme en cada subinterval compacte, de manera que es pot derivar i integrar terme a terme sense canviar el radi. Fora del radi divergeix.

La fórmula de Taylor amb residu de Lagrange dona l'error de truncar el desenvolupament. Però compte amb una creença molt estesa: una funció infinitament derivable no és necessàriament igual a la seva sèrie de Taylor. Cal demostrar que el residu tendeix a zero. L'exemple clàssic és l'extensió per zero de $e^{-1/x^{2}}$: té totes les derivades nul·les a l'origen, de manera que la seva sèrie de Taylor és idènticament zero, i tanmateix la funció no ho és.

Exercici resolt: radi i extrems

Estudia $\sum_{n\geq 1} \dfrac{x^{n}}{n^{2}}$ i acota'n el residu a $x = 1$.

Radi. L'arrel $n$-èsima de $1/n^{2}$ tendeix a $1$, de manera que $R = 1$.

Extrems. A $x = 1$ queda $\sum 1/n^{2}$, que convergeix. A $x = -1$ queda una sèrie alternada amb els mateixos mòduls, que convergeix absolutament. Convergeix, doncs, als dos extrems.

Cota del residu a $x=1$. Pel criteri integral, com que la funció $1/x^{2}$ és positiva i decreixent,

$$0 < R_N \leq \int_N^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} = \frac{1}{N}.$$

Per tenir dos decimals correctes cal, doncs, uns cent termes. Aquesta manera d'acotar residus amb una integral és la més útil que hi ha per a sèries de termes positius decreixents.

Exercici resolt: Weierstrass i els seus límits

És uniformement convergent la sèrie $\sum_{n\geq1}\dfrac{\sin(nx)}{n^{2}}$ a tota la recta?

Sí. El mòdul de cada terme està acotat per $1/n^{2}$, i aquesta cota no depèn de $x$. Com que $\sum 1/n^{2}$ convergeix, el criteri de Weierstrass dona convergència uniforme i absoluta a tot $\mathbb{R}$. En conseqüència, la suma és una funció contínua.

El que no se'n dedueix. Que la suma sigui derivable no surt d'aquesta cota. La sèrie de les derivades seria $\sum \cos(nx)/n$, i els seus mòduls estan acotats per $1/n$, que dona una sèrie divergent: Weierstrass no s'hi pot aplicar. Caldria un argument més fi.

La moral és que la convergència uniforme de la sèrie no diu res sobre la de les derivades, i per això el teorema de derivació terme a terme demana explícitament la hipòtesi sobre la sèrie derivada.