Funcions quadràtiques: vèrtex, eix de simetria i zeros de la paràbola

Una paràbola és la primera corba que estudiaràs, i té una propietat que la fa molt pràctica: és simètrica. Amb el vèrtex i un punt més, la tens dibuixada, i el vèrtex és precisament el màxim o el mínim que els problemes acostumen a demanar.

El que has de dominar abans: equacions de segon grau i lectura de gràfiques.

La forma general i l'obertura

$$f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c, \qquad a \neq 0.$$

El signe d'$a$ decideix la forma:

• $a > 0$: la paràbola s'obre cap amunt i té un mínim;
• $a < 0$: s'obre cap avall i té un màxim.

I el valor absolut d'$a$ decideix com és d'estreta: com més gran, més tancada.

Eix de simetria i vèrtex

L'eix de simetria és la recta vertical

$$x = -\frac{b}{2a},$$

i el vèrtex és el punt de la paràbola que hi cau a sobre:

$$x_v = -\frac{b}{2a}, \qquad y_v = f(x_v).$$

Fixa't que el vèrtex té dues coordenades, i cal calcular-les totes dues: la primera amb la fórmula, la segona substituint.

Els talls amb els eixos

Amb l'eix horitzontal: són les solucions de $ax^{2}+bx+c = 0$. Pot haver-n'hi dos, un (doble) o cap, segons el signe del discriminant.

Amb l'eix vertical: sempre és el punt $(0, c)$, perquè $f(0) = c$.

La forma canònica

$$f(x) = a(x-h)^{2} + k$$

té el vèrtex a $(h, k)$, i es llegeix directament. Compte amb el signe: a $(x+1)^{2}$ el vèrtex té $h = -1$, no $+1$, perquè $x+1$ és $x - (-1)$.

Aquesta forma és la més còmoda quan et donen la funció així, i és la que es fa servir per justificar on és el màxim o el mínim sense cap fórmula: un quadrat és sempre positiu o zero, de manera que el seu valor més petit és zero i s'assoleix a $x = h$.

El domini del problema

Abans de donar la resposta, mira quin és el domini real del problema. Una trajectòria física acaba quan l'objecte toca el terra; una àrea en funció d'un costat només té sentit per a valors positius. El màxim del problema pot no coincidir amb el vèrtex si el vèrtex cau fora del domini.

Exercici resolt: vèrtex en forma canònica

Troba el vèrtex de $f(x) = (x+1)^{2} + 2$.

Compara amb la forma canònica $a(x-h)^{2}+k$.

$$(x+1)^{2} = (x - (-1))^{2},$$

de manera que $h = -1$ i $k = 2$.

Vèrtex: $(-1, 2)$.

És màxim o mínim? El coeficient $a = 1$ és positiu: s'obre cap amunt, i el vèrtex és un mínim.

Comprovació amb la fórmula general. Desenvolupant, $f(x) = x^{2}+2x+3$, de manera que

$$x_v = -\frac{2}{2} = -1, \qquad f(-1) = 1-2+3 = 2 \quad\checkmark$$

L'error de signe que amenaça aquest exercici. Llegir $h = 1$ perquè al parèntesi hi ha un $+1$. La forma canònica porta una resta, de manera que un $+1$ dins del parèntesi correspon a $h = -1$. La comprovació amb la fórmula general, o simplement calcular $f(-1)$ i $f(1)$ i veure quin és més petit, ho resol de seguida.

Té zeros? $f(x) = (x+1)^{2}+2$ és sempre com a mínim $2$, perquè un quadrat no és mai negatiu. No talla mai l'eix horitzontal: cap zero real. Es confirma amb el discriminant de $x^{2}+2x+3$: $4-12 = -8 < 0$ ✓

Exercici resolt: zeros i màxim

Troba els zeros i el màxim de $g(x) = -x^{2} + 6x$.

Obertura. $a = -1 < 0$: cap avall, de manera que té màxim.

Zeros. Treu factor comú:

$$-x^{2}+6x = -x(x-6) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 0 \ \text{ i } \ x = 6.$$

Vèrtex.

$$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3, \qquad g(3) = -9 + 18 = 9.$$

Màxim de valor $9$, assolit a $x=3$.

Comprovació per simetria. Els zeros són $0$ i $6$, i el seu punt mitjà és $3$ ✓ Coincideix amb l'eix de simetria.

Recorregut. Com que té màxim $9$ i s'obre cap avall: $(-\infty, 9]$.

Un comentari sobre el mètode dels zeros. Aquí he tret factor comú en comptes d'anar a la fórmula general, perquè falta el terme independent. És el cas incomplet del tema A08, i és molt més ràpid. Mirar l'estructura de l'equació abans de calcular és el que estalvia temps en aquests exercicis.

I la precaució de sempre amb el factor comú. Treure $-x$ i quedar-se només amb $x-6=0$ perdria la solució $x=0$. Amb el producte igualat a zero, cada factor dona una solució.

On ho faràs servir

Les paràboles descriuen les trajectòries de qualsevol objecte llançat, i a física les faràs servir en el tir parabòlic. El vèrtex és l'alçada màxima i els zeros són els moments de sortida i d'arribada al terra.

També són el model de tots els problemes d'optimització senzills: àrea màxima amb un perímetre donat, benefici màxim en funció del preu, cost mínim en funció de la quantitat. En tots, la resposta és el vèrtex.

I a batxillerat, trobar el vèrtex amb la fórmula serà substituït per derivar i igualar a zero, que és el mètode general. Però el raonament serà el mateix: buscar on la funció deixa de créixer i comença a decréixer.