Exercicis de vectors

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-3)(1) + (1)(2) + (4)(-2)$

$= -3 + 2 - 8 = -9$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-3) + (2)(-2) + (2)k = 0$

$= -3 - 4 + 2k = -7 + 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{7}{2} = \frac{7}{2} \approx 3.5000$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 = -1$
• Segona: $-\left(-1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1\right) = -2$
• Tercera: $-1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = -3$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-1, -2, -3)$

La primera component és $-1$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (3)(-2) + (3)(-1) + (2)(4)$

$= -6 - 3 + 8 = -1$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(1)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$

$|\vec{u}| = \sqrt{11} \approx 3.3166$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-1) + (-3)(-3) + (4)k = 0$

$= -2 + 9 + 4k = 7 + 4k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-7}{4} = - \frac{7}{4} \approx -1.7500$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $4 \cdot (-2) - 2 \cdot (-1) = -6$
• Segona: $-\left(3 \cdot (-2) - 2 \cdot 3\right) = 12$
• Tercera: $3 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 = -15$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-6, 12, -15)$

La segona component és $12$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (4)(2) + (2)(-2) + (-3)(-1)$

$= 8 - 4 + 3 = 7$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(3)^2 + (1)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.