Exercicis de vectors

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-2)(2) + (3)(-1) + (4)(-2)$

$= -4 - 3 - 8 = -15$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$

$|\vec{u}| = \sqrt{19} \approx 4.3589$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3)(4) + (-1)(1) + (-3)k = 0$

$= -12 - 1 - 3k = -13 - 3k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{13}{-3} = - \frac{13}{3} \approx -4.3333$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & -3 \\ -2 & 3 & 3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $1 \cdot 3 - (-3) \cdot 3 = 12$
• Segona: $-\left(3 \cdot 3 - (-3) \cdot (-2)\right) = -3$
• Tercera: $3 \cdot 3 - 1 \cdot (-2) = 11$

$\vec{u} \times \vec{v} = (12, -3, 11)$

La primera component és $12$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (2)(-3) + (-3)(-2) + (3)(2)$

$= -6 + 6 + 6 = 6$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(4)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$

$|\vec{u}| = \sqrt{26} \approx 5.0990$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3)(2) + (3)(-2) + (2)k = 0$

$= -6 - 6 + 2k = -12 + 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{12}{2} = 6$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 4 & 4 & 4 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-2 \cdot 4 - (-1) \cdot 4 = -4$
• Segona: $-\left(1 \cdot 4 - (-1) \cdot 4\right) = -8$
• Tercera: $1 \cdot 4 - (-2) \cdot 4 = 12$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-4, -8, 12)$

La segona component és $-8$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-1)(4) + (-2)(-3) + (2)(3)$

$= -4 + 6 + 6 = 8$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(1)^2 + (3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.