Exercicis de vectors

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-1)(1) + (4)(-3) + (3)(-3)$

$= -1 - 12 - 9 = -22$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9}$

$|\vec{u}| = 3$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-2)(4) + (-2)(-2) + (2)k = 0$

$= -8 + 4 + 2k = -4 + 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{4}{2} = 2$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 6$
• Segona: $-\left(2 \cdot 4 - 2 \cdot 2\right) = -4$
• Tercera: $2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 0$

$\vec{u} \times \vec{v} = (6, -4, 0)$

La segona component és $-4$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.