Exercicis de vectors

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (2)(2) + (-3)(1) + (1)(4)$

$= 4 - 3 + 4 = 5$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(1)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$

$|\vec{u}| = \sqrt{11} \approx 3.3166$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(4) + (1)(3) + (3)k = 0$

$= 4 + 3 + 3k = 7 + 3k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-7}{3} = - \frac{7}{3} \approx -2.3333$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & -3 \\ 3 & 4 & 4 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-3 \cdot 4 - (-3) \cdot 4 = 0$
• Segona: $-\left(-3 \cdot 4 - (-3) \cdot 3\right) = 3$
• Tercera: $-3 \cdot 4 - (-3) \cdot 3 = -3$

$\vec{u} \times \vec{v} = (0, 3, -3)$

La tercera component és $-3$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (2)(4) + (-1)(-2) + (-1)(1)$

$= 8 + 2 - 1 = 9$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{u}| = \sqrt{14} \approx 3.7417$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(-3) + (-1)(4) + (1)k = 0$

$= -9 - 4 + k = -13 + k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{13}{1} = 13$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & -2 & -3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-2 \cdot (-3) - 3 \cdot (-2) = 12$
• Segona: $-\left(1 \cdot (-3) - 3 \cdot 3\right) = 12$
• Tercera: $1 \cdot (-2) - (-2) \cdot 3 = 4$

$\vec{u} \times \vec{v} = (12, 12, 4)$

La primera component és $12$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (1)(-2) + (-1)(1) + (3)(-1)$

$= -2 - 1 - 3 = -6$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(3)^2 + (2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$

$|\vec{u}| = \sqrt{22} \approx 4.6904$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.