Simulacre d'examen de vectors

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-3) + (2)(-2) + (2)k = 0$

$= -3 - 4 + 2k = -7 + 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{7}{2} = \frac{7}{2} \approx 3.5000$

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3)(-1) + (1)(3) + (1)k = 0$

$= 3 + 3 + k = 6 + k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-6}{1} = -6$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ -2 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 = -6$
• Segona: $-\left(-1 \cdot 3 - 3 \cdot (-2)\right) = -3$
• Tercera: $-1 \cdot 4 - 2 \cdot (-2) = 0$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-6, -3, 0)$

La primera component és $-6$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $3 \cdot (-3) - (-3) \cdot (-2) = -15$
• Segona: $-\left(4 \cdot (-3) - (-3) \cdot 1\right) = 9$
• Tercera: $4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = -11$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-15, 9, -11)$

La primera component és $-15$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(4) + (-1)(-3) + (1)k = 0$

$= 8 + 3 + k = 11 + k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-11}{1} = -11$

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3)(2) + (3)(-2) + (2)k = 0$

$= -6 - 6 + 2k = -12 + 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{12}{2} = 6$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 = 4$
• Segona: $-\left(-3 \cdot 2 - (-1) \cdot (-3)\right) = 9$
• Tercera: $-3 \cdot 2 - 1 \cdot (-3) = -3$

$\vec{u} \times \vec{v} = (4, 9, -3)$

La segona component és $9$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = -4$
• Segona: $-\left(-2 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)\right) = 0$
• Tercera: $-2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2) = -8$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-4, 0, -8)$

La segona component és $0$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-3)(1) + (1)(2) + (4)(-2)$

$= -3 + 2 - 8 = -9$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9}$

$|\vec{u}| = 3$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (2)(-2) + (-2)(1) + (3)(1)$

$= -4 - 2 + 3 = -3$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$

$|\vec{u}| = 2 \sqrt{3} \approx 3.4641$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.