Exercicis de vectors

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-2)(-1) + (-2)(-2) + (4)k = 0$

$= 2 + 4 + 4k = 6 + 4k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-6}{4} = - \frac{3}{2} \approx -1.5000$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-2 \cdot (-3) - (-1) \cdot 1 = 7$
• Segona: $-\left(4 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-1)\right) = 13$
• Tercera: $4 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1) = 2$

$\vec{u} \times \vec{v} = (7, 13, 2)$

La segona component és $13$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-2)(3) + (2)(-2) + (4)(3)$

$= -6 - 4 + 12 = 2$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$|\vec{u}| = \sqrt{3} \approx 1.7321$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3)(2) + (1)(4) + (2)k = 0$

$= -6 + 4 + 2k = -2 + 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{2}{2} = 1$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 3 & 3 \\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 9$
• Segona: $-\left(-3 \cdot 4 - 3 \cdot (-2)\right) = 6$
• Tercera: $-3 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) = 3$

$\vec{u} \times \vec{v} = (9, 6, 3)$

La tercera component és $3$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (1)(-3) + (2)(-1) + (1)(3)$

$= -3 - 2 + 3 = -2$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}$

$|\vec{u}| = \sqrt{19} \approx 4.3589$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1)(-2) + (-3)(2) + (4)k = 0$

$= 2 - 6 + 4k = -4 + 4k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{4}{4} = 1$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $3 \cdot (-3) - (-3) \cdot (-2) = -15$
• Segona: $-\left(4 \cdot (-3) - (-3) \cdot 1\right) = 9$
• Tercera: $4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = -11$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-15, 9, -11)$

La primera component és $-15$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.