Exercicis de vectors

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(2) + (4)(-2) + (-2)k = 0$

$= 2 - 8 - 2k = -6 - 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{6}{-2} = -3$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 4 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $4 \cdot 3 - (-1) \cdot 2 = 14$
• Segona: $-\left(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 1\right) = -4$
• Tercera: $1 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = -2$

$\vec{u} \times \vec{v} = (14, -4, -2)$

La tercera component és $-2$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-3)(1) + (2)(-1) + (4)(4)$

$= -3 - 2 + 16 = 11$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(4)^2 + (-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$

$|\vec{u}| = \sqrt{26} \approx 5.0990$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3)(-1) + (1)(3) + (1)k = 0$

$= 3 + 3 + k = 6 + k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-6}{1} = -6$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -3 \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-1 \cdot 3 - (-3) \cdot 2 = 3$
• Segona: $-\left(-1 \cdot 3 - (-3) \cdot 2\right) = -3$
• Tercera: $-1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 = 0$

$\vec{u} \times \vec{v} = (3, -3, 0)$

La primera component és $3$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (1)(3) + (-1)(-3) + (-1)(-3)$

$= 3 + 3 + 3 = 9$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-1)^2 + (4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$

$|\vec{u}| = 3 \sqrt{2} \approx 4.2426$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (4)(-2) + (1)(4) + (-1)k = 0$

$= -8 + 4 - k = -4 - k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{4}{-1} = -4$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $1 \cdot 4 - 1 \cdot (-1) = 5$
• Segona: $-\left(2 \cdot 4 - 1 \cdot 2\right) = -6$
• Tercera: $2 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 = -4$

$\vec{u} \times \vec{v} = (5, -6, -4)$

La segona component és $-6$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.