Exercicis de vectors

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-3) + (1)(-2) + (1)k = 0$

$= -3 - 2 + k = -5 + k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{5}{1} = 5$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 4 & -3 \\ 3 & -1 & 3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $4 \cdot 3 - (-3) \cdot (-1) = 9$
• Segona: $-\left(4 \cdot 3 - (-3) \cdot 3\right) = -21$
• Tercera: $4 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 = -16$

$\vec{u} \times \vec{v} = (9, -21, -16)$

La primera component és $9$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (2)(-2) + (-2)(1) + (3)(1)$

$= -4 - 2 + 3 = -3$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$

$|\vec{u}| = \sqrt{17} \approx 4.1231$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(4) + (-1)(-3) + (1)k = 0$

$= 8 + 3 + k = 11 + k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-11}{1} = -11$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 4 & -1 \\ -1 & 4 & -3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $4 \cdot (-3) - (-1) \cdot 4 = -8$
• Segona: $-\left(4 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-1)\right) = 13$
• Tercera: $4 \cdot 4 - 4 \cdot (-1) = 20$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-8, 13, 20)$

La segona component és $13$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-2)(3) + (1)(-1) + (3)(-3)$

$= -6 - 1 - 9 = -16$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(4)^2 + (1)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$

$|\vec{u}| = \sqrt{21} \approx 4.5826$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(3) + (3)(1) + (-3)k = 0$

$= 9 + 3 - 3k = 12 - 3k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-12}{-3} = 4$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $-3 \cdot (-2) - 2 \cdot (-1) = 8$
• Segona: $-\left(-2 \cdot (-2) - 2 \cdot 1\right) = -2$
• Tercera: $-2 \cdot (-1) - (-3) \cdot 1 = 5$

$\vec{u} \times \vec{v} = (8, -2, 5)$

La tercera component és $5$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.