Exercicis de vectors

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (1)(3) + (4)(-3) + (3)(2)$

$= 3 - 12 + 6 = -3$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(-1)^2 + (3)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}$

$|\vec{u}| = \sqrt{19} \approx 4.3589$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1)(3) + (2)(-1) + (2)k = 0$

$= -3 - 2 + 2k = -5 + 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \approx 2.5000$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 4$
• Segona: $-\left(4 \cdot 3 - 2 \cdot 3\right) = -6$
• Tercera: $4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -2$

$\vec{u} \times \vec{v} = (4, -6, -2)$

La segona component és $-6$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (1)(3) + (-1)(3) + (2)(-1)$

$= 3 - 3 - 2 = -2$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(4)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18}$

$|\vec{u}| = 3 \sqrt{2} \approx 4.2426$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.

El criteri de perpendicularitat és sempre el mateix: producte escalar igual a zero.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(4) + (2)(4) + (-2)k = 0$

$= 8 + 8 - 2k = 16 - 2k = 0$

Aïllem $k$:

$k = \frac{-16}{-2} = 8$

El producte vectorial es calcula amb aquest determinant:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 4 & 4 \\ -3 & -1 & -2 \end{vmatrix}$

Component a component (i vigila el signe menys de la segona, que és l'error típic):

• Primera: $4 \cdot (-2) - 4 \cdot (-1) = -4$
• Segona: $-\left(-3 \cdot (-2) - 4 \cdot (-3)\right) = -18$
• Tercera: $-3 \cdot (-1) - 4 \cdot (-3) = 15$

$\vec{u} \times \vec{v} = (-4, -18, 15)$

La tercera component és $15$.

Comprovació: aquest vector ha de ser perpendicular als dos de partida. Si en fas el producte escalar amb $\vec{u}$ ha de donar zero.

El producte escalar es fa component a component i el resultat és un número, no un vector. Aquesta és la primera cosa a tenir clara.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

$= (-1)(4) + (2)(-2) + (1)(4)$

$= -4 - 4 + 4 = -4$

Si hagués donat zero, els vectors serien perpendiculars.

El mòdul és la llargada del vector, i es calcula amb Pitàgores estès a tres dimensions:

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$

$= \sqrt{(4)^2 + (2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24}$

$|\vec{u}| = 2 \sqrt{6} \approx 4.8990$

Els quadrats fan que els signes negatius desapareguin: el mòdul mai és negatiu.